2026년 5월 학력평가 (고3) 수학 12번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2026년 5월 학력평가 (고3) 수학 12번
문제의 분류	고등학교 (수학2 - 도함수의 활용, 정적분의 활용)
난이도	중

🔍 이해용 풀이

문제

12. 시각 $t=0$ 일 때 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 P의 시각 $t(t\ge 0)$에서의 속도 $v(t)$가 $v(t)=3t^2-11t+8$ 이다. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점] <보기> ㄱ. 시각 $t=1$ 일 때 점 P의 운동 방향이 바뀐다. ㄴ. 점 P의 가속도가 1이 되는 순간 점 P의 위치는 2이다. ㄷ. 시각 $t=0$에서 $t=2$까지 점 P가 움직인 거리는 6이다. ① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

1. 문제의 요지

이 문제는 속도 함수의 부호 변화를 통한 운동 방향의 변화, 가속도와 위치의 관계, 그리고 속도 함수의 절댓값을 적분하여 움직인 거리를 구하는 방법을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 시각 $t=0$ 일 때 점 P의 위치는 원점(0)
- 시각 $t(t\ge 0)$에서의 속도 $v(t)=3t^2-11t+8$

3. 풀이의 순서

이 문제는 속도, 가속도, 위치, 움직인 거리의 관계를 이용하여 각 보기의 참/거짓을 판별하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 속도 함수를 인수분해하여 운동 방향이 바뀌는 시각을 찾고 보기 ㄱ을 판별합니다.

step2. 속도를 미분하여 가속도를 구하고, 가속도가 1이 되는 시각을 찾은 후, 속도를 적분하여 그 시각에서의 위치를 구해 보기 ㄴ을 판별합니다.

step3. 속도의 절댓값을 적분하여 주어진 시간 동안 움직인 거리를 구하고 보기 ㄷ을 판별합니다.

4. 풀이의 도구

- 속도와 가속도의 관계: 가속도 $a(t)$는 속도 $v(t)$의 도함수이다. 즉, $a(t)=v^{\prime }(t)$

- 속도와 위치의 관계: 시각 $t$에서의 위치 $x(t)$는 처음 위치 $x(0)$에 속도 $v(t)$의 정적분을 더한 값이다. 즉, $x(t)=x(0)+{\int }_0^{t}v(s)ds$

- 움직인 거리: 시각 $t=a$에서 $t=b$까지 움직인 거리는 속도의 절댓값을 정적분한 값이다. 즉, ${\int }_a^b|v(t)|dt$

5. 구체적 풀이

[키포인트] 속도의 부호 변화는 운동 방향의 변화를 의미하고, 속도의 미분은 가속도, 속도의 적분은 위치의 변화량(절댓값의 적분은 움직인 거리)을 의미합니다.

step1. 보기 ㄱ 판별

주어진 속도 함수 $v(t)=3t^2-11t+8$을 인수분해하면 $v(t)=(3t-8)(t-1)$입니다.

운동 방향이 바뀌는 시각은 속도가 0이 되고 그 전후로 속도의 부호가 바뀌는 시각입니다.

$v(t)=0$을 만족하는 $t$의 값은 $t=1$ 또는 $t=\frac{8}{3}$입니다.

$t=1$의 좌우에서 $v(t)$의 부호가 양수(+)에서 음수(-)로 바뀌므로, 시각 $t=1$일 때 점 P의 운동 방향이 바뀝니다.

따라서 보기 ㄱ은 참입니다.

step2. 보기 ㄴ 판별

가속도 $a(t)$는 속도 $v(t)$를 미분하여 구할 수 있습니다.

$a(t)=v^{\prime }(t)=6t-11$

가속도가 1이 되는 순간의 시각을 구하면,

$6t-11=1$

$6t=12$

$t=2$

즉, $t=2$일 때의 위치를 구해야 합니다.

시각 $t$에서의 위치 $x(t)$는 처음 위치에 속도의 정적분을 더하여 구합니다. 원점을 출발했으므로 처음 위치는 0입니다.

$x(2)=0+{\int }_0^2(3t^2-11t+8)dt$

$={[t^3-\frac{11}{2}{t}^2+8t]}_0^2$

$=(2^3-\frac{11}{2}·2^2+8·2)-0$

$=8-22+16=2$

따라서 가속도가 1이 되는 순간 점 P의 위치는 2입니다.

보기 ㄴ은 참입니다.

step3. 보기 ㄷ 판별

시각 $t=0$에서 $t=2$까지 점 P가 움직인 거리는 속도의 절댓값을 정적분하여 구합니다.

움직인 거리 $={\int }_0^2|v(t)|dt$

$v(t)=(3t-8)(t-1)$이므로,

$0\le t\le 1$ 구간에서는 $v(t)\ge 0$이고,

$1\le t\le 2$ 구간에서는 $v(t)\le 0$입니다.

따라서 적분 구간을 나누어 계산합니다.

${\int }_0^2|v(t)|dt={\int }_0^{1}v(t)dt-{\int }_1^{2}v(t)dt$

먼저 ${\int }_0^{1}v(t)dt$를 계산하면,

${\int }_0^1(3t^2-11t+8)dt={[t^3-\frac{11}{2}{t}^2+8t]}_0^1=1-\frac{11}{2}+8=\frac{7}{2}$

다음으로 ${\int }_1^{2}v(t)dt$를 계산하면,

${\int }_1^2(3t^2-11t+8)dt={[t^3-\frac{11}{2}{t}^2+8t]}_1^2=(8-22+16)-\frac{7}{2}=2-\frac{7}{2}=-\frac{3}{2}$

따라서 움직인 거리는 $\frac{7}{2}-(-\frac{3}{2})=\frac{7}{2}+\frac{3}{2}=\frac{10}{2}=5$입니다.

[함정경고] 위치의 변화량과 움직인 거리를 혼동하여 절댓값을 씌우지 않고 적분하면 오답이 나올 수 있습니다.

움직인 거리는 5이므로, 6이라는 보기 ㄷ의 설명은 거짓입니다.

결론적으로 옳은 것은 ㄱ, ㄴ입니다.

[정답] ②

⚡ 실전용 풀이

step1. 보기 ㄱ

$v(t)=3t^2-11t+8=(3t-8)(t-1)$

$t=1$에서 $v(t)$ 부호가 $(+)\to (-)$로 바뀜

$\therefore$ ㄱ 참

step2. 보기 ㄴ

$a(t)=v^{\prime }(t)=6t-11$

$6t-11=1\Rightarrow t=2$

$x(2)={\int }_0^2(3t^2-11t+8)dt$

$={[t^3-\frac{11}{2}{t}^2+8t]}_0^2=8-22+16=2$

$\therefore$ ㄴ 참

step3. 보기 ㄷ

움직인 거리 $={\int }_0^2|v(t)|dt={\int }_0^{1}v(t)dt-{\int }_1^{2}v(t)dt$

${\int }_0^{1}v(t)dt={[t^3-\frac{11}{2}{t}^2+8t]}_0^1=1-\frac{11}{2}+8=\frac{7}{2}$

${\int }_1^{2}v(t)dt={[t^3-\frac{11}{2}{t}^2+8t]}_1^2=2-\frac{7}{2}=-\frac{3}{2}$

$\therefore$ 움직인 거리 $=\frac{7}{2}-(-\frac{3}{2})=5\ne 6$

$\therefore$ ㄷ 거짓

$\therefore 정답②$

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