2026년 5월 학력평가 (고3) 수학 14번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2026년 5월 학력평가 (고3) 수학 14번
문제의 분류	고등학교 (삼각함수의 그래프)
난이도	중상

🔍 이해용 풀이

문제

그림과 같이 곡선 $y=\sin x(0\le x\le 2\pi )$가 직선 $y=k$와 만나는 두 점을 A, B라 하고, 직선 $y=-\sqrt{1-k^2}$과 만나는 두 점을 C, D라 하자. $\overline{CD}-\overline{AB}=\frac{2}{9}\pi$일 때, 선분 AB의 길이는? (단, $k$는 $0<k<1$인 상수이다.) ① $\frac{13}{36}\pi$ ② $\frac{3}{8}\pi$ ③ $\frac{7}{18}\pi$ ④ $\frac{29}{72}\pi$ ⑤ $\frac{5}{12}\pi$

1. 문제의 요지

이 문제는 삼각함수 그래프의 대칭성과 각 변환 성질을 이용하여 교점의 좌표를 미지수로 표현하고, 주어진 선분 길이의 조건을 통해 미지수를 구하는 것을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 곡선 $y=\sin x$ ($0\le x\le 2\pi$)
- 직선 $y=k$ ($0<k<1$)와 만나는 두 점 A, B
- 직선 $y=-\sqrt{1-k^2}$과 만나는 두 점 C, D
- $\overline{CD}-\overline{AB}=\frac{2}{9}\pi$

3. 풀이의 순서

이 문제는 삼각함수 그래프의 대칭성을 이용하여 교점의 x좌표들을 하나의 미지수로 표현하는 방법으로 문제를 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 점 A의 x좌표를 $\alpha$로 두고, 점 B의 x좌표와 선분 AB의 길이를 $\alpha$로 표현합니다.

step2. $k=\sin \alpha$임을 이용하여 직선 $y=-\sqrt{1-k^2}$의 식을 $\alpha$로 나타냅니다.

step3. 삼각방정식을 풀어 점 C, D의 x좌표를 구하고 선분 CD의 길이를 $\alpha$로 표현합니다.

step4. 주어진 조건식에 대입하여 $\alpha$를 구하고, 최종적으로 선분 AB의 길이를 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 삼각함수의 대칭성: $y=\sin x$ 그래프는 $x=\frac{\pi }{2}$, $x=\frac{3\pi }{2}$ 등의 직선에 대해 선대칭이고, $(\pi ,0)$ 등의 점에 대해 점대칭입니다.

- 삼각함수의 각 변환: $\sin (\frac{3\pi }{2}\pm \theta )=-\cos \theta$ 임을 이용합니다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 삼각함수 그래프의 대칭성을 이용하여 교점의 x좌표들을 하나의 미지수 $\alpha$로 표현하는 것이 이 문제의 핵심입니다.

step1. 점 A의 x좌표를 $\alpha$ ($0<\alpha <\frac{\pi }{2}$)라고 합시다.

점 A는 $y=\sin x$와 $y=k$의 교점이므로 $\sin \alpha =k$입니다.

$y=\sin x$ 그래프는 $x=\frac{\pi }{2}$에 대해 대칭이므로, 점 B의 x좌표는 $\pi -\alpha$가 됩니다.

따라서 선분 AB의 길이는 $\overline{AB}=(\pi -\alpha )-\alpha =\pi -2\alpha$ 입니다.

step2. 이제 직선 $y=-\sqrt{1-k^2}$을 $\alpha$로 표현해 봅시다.

$k=\sin \alpha$이고 $0<\alpha <\frac{\pi }{2}$이므로 $\cos \alpha >0$입니다.

따라서 $\sqrt{1-k^2}=\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=\sqrt{{\cos }^2\alpha }=\cos \alpha$가 됩니다.

즉, 두 번째 직선의 방정식은 $y=-\cos \alpha$ 입니다.

step3. 점 C, D는 $y=\sin x$와 $y=-\cos \alpha$의 교점입니다.

방정식 $\sin x=-\cos \alpha$를 풀어야 합니다.

삼각함수의 각 변환 성질에 의해 $-\cos \alpha =\sin (\frac{3\pi }{2}-\alpha )=\sin (\frac{3\pi }{2}+\alpha )$가 성립합니다.

[함정경고] 여기서 $-\cos \alpha$를 $\sin$ 함수로 변환할 때 부호와 각도를 헷갈리기 쉬우므로, $\sin (\frac{3\pi }{2}\pm \alpha )=-\cos \alpha$ 공식을 정확히 적용해야 합니다.

따라서 점 C의 x좌표는 $\frac{3\pi }{2}-\alpha$, 점 D의 x좌표는 $\frac{3\pi }{2}+\alpha$가 됩니다.

그러므로 선분 CD의 길이는 $\overline{CD}=(\frac{3\pi }{2}+\alpha )-(\frac{3\pi }{2}-\alpha )=2\alpha$ 입니다.

step4. 문제에서 주어진 조건 $\overline{CD}-\overline{AB}=\frac{2}{9}\pi$에 대입합니다.

$2\alpha -(\pi -2\alpha )=\frac{2}{9}\pi$

$4\alpha -\pi =\frac{2}{9}\pi$

$4\alpha =\frac{11}{9}\pi$

$\alpha =\frac{11}{36}\pi$

우리가 구하고자 하는 것은 선분 AB의 길이이므로,

$\overline{AB}=\pi -2\alpha =\pi -2(\frac{11}{36}\pi )=\pi -\frac{11}{18}\pi =\frac{7}{18}\pi$ 입니다.

정답은 ③입니다.

[정답] ③

⚡ 실전용 풀이

step1. 점 A, B의 x좌표

A의 x좌표를 $\alpha$라 하면 $\sin \alpha =k$   --- $0<\alpha <\frac{\pi }{2}$

B의 x좌표는 $\pi -\alpha$

$\overline{AB}=\pi -2\alpha$

step2. 직선 $y=-\sqrt{1-k^2}$

$\sqrt{1-k^2}=\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=\cos \alpha$

$y=-\cos \alpha$

step3. 점 C, D의 x좌표

$\sin x=-\cos \alpha$

---($\sin (\frac{3\pi }{2}\pm \alpha )=-\cos \alpha$ 이용)

$x=\frac{3\pi }{2}-\alpha ,\frac{3\pi }{2}+\alpha$

$\overline{CD}=2\alpha$

step4. $\overline{AB}$ 계산

$\overline{CD}-\overline{AB}=\frac{2}{9}\pi$

$2\alpha -(\pi -2\alpha )=\frac{2}{9}\pi$

$4\alpha =\frac{11}{9}\pi ⟹\alpha =\frac{11}{36}\pi$

$\overline{AB}=\pi -2\alpha =\pi -\frac{11}{18}\pi =\frac{7}{18}\pi$

$\therefore ③$

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