2026년 5월 학력평가 (고3) 수학 17번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2026년 5월 학력평가 (고3) 수학 17번
문제의 분류	고등학교 (수열의 합)
난이도	중하

🔍 이해용 풀이

문제

수열 $\{a_n\}$에 대하여 ${\sum }_{k=1}^7{a}_{2k}={\sum }_{k=1}^7(k^2-a_{2k-1})$일 때, ${\sum }_{k=1}^{14}{a}_k$의 값을 구하시오.

1. 문제의 요지

이 문제는 시그마(∑)의 성질을 이용하여 주어진 식을 변형하고, 홀수 번째 항과 짝수 번째 항의 합을 전체 항의 합으로 결합할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- ${\sum }_{k=1}^7{a}_{2k}={\sum }_{k=1}^7(k^2-a_{2k-1})$

3. 풀이의 순서

이 문제는 시그마의 성질을 이용하여 식을 정리하고, 홀수 항과 짝수 항의 합을 전체 항의 합으로 나타내는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 주어진 식의 우변을 시그마의 성질을 이용하여 분리합니다.

step2. 수열의 항이 포함된 부분을 좌변으로 이항하여 정리합니다.

step3. 좌변의 식이 $a_1$부터 $a_{14}$까지의 합임을 파악합니다.

step4. 자연수 거듭제곱의 합 공식을 이용하여 우변의 값을 계산하여 정답을 도출합니다.

4. 풀이의 도구

- 시그마의 성질: $\sum (A_k\pm B_k)=\sum A_k\pm \sum B_k$

- 자연수 거듭제곱의 합 공식: ${\sum }_{k=1}^n{k}^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

5. 구체적 풀이

step1. 주어진 식의 우변을 시그마의 성질을 이용하여 분리합니다.

주어진 조건식은 ${\sum }_{k=1}^7{a}_{2k}={\sum }_{k=1}^7(k^2-a_{2k-1})$ 입니다.

우변의 시그마를 분리하면 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

${\sum }_{k=1}^7{a}_{2k}={\sum }_{k=1}^7{k}^2-{\sum }_{k=1}^7{a}_{2k-1}$

step2. 수열의 항이 포함된 부분을 좌변으로 이항하여 정리합니다.

우변에 있는 $-{\sum }_{k=1}^7{a}_{2k-1}$ 을 좌변으로 이항합니다.

${\sum }_{k=1}^7{a}_{2k-1}+{\sum }_{k=1}^7{a}_{2k}={\sum }_{k=1}^7{k}^2$

step3. 좌변의 식이 $a_1$부터 $a_{14}$까지의 합임을 파악합니다.

[키포인트] 좌변의 식을 하나의 시그마로 합치면 ${\sum }_{k=1}^7(a_{2k-1}+a_{2k})$ 가 됩니다.

이 식에 $k=1,2,3,\dots ,7$을 차례로 대입하여 전개해 보면,

$(a_1+a_2)+(a_3+a_4)+\dots +(a_{13}+a_{14})$ 가 됩니다.

이는 곧 수열 $a_n$의 첫째항부터 제14항까지의 합인 ${\sum }_{k=1}^{14}{a}_k$ 와 같습니다.

따라서 우리가 구하고자 하는 값은 ${\sum }_{k=1}^{14}{a}_k={\sum }_{k=1}^7{k}^2$ 입니다.

step4. 자연수 거듭제곱의 합 공식을 이용하여 우변의 값을 계산하여 정답을 도출합니다.

[함정경고] 자연수 거듭제곱의 합 공식을 적용할 때, $n$의 값과 공식을 정확히 기억하고 대입해야 계산 실수를 방지할 수 있습니다.

${\sum }_{k=1}^n{k}^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ 공식에 $n=7$을 대입합니다.

${\sum }_{k=1}^7{k}^2=\frac{7\times (7+1)\times (2\times 7+1)}{6}=\frac{7\times 8\times 15}{6}$

분모와 분자를 약분하여 계산하면,

$\frac{7\times 8\times 15}{6}=\frac{7\times 4\times 15}{3}=7\times 4\times 5=140$ 입니다.

따라서 ${\sum }_{k=1}^{14}{a}_k=140$ 입니다.

[정답] 140

⚡ 실전용 풀이

step1. 시그마 분리 및 이항

${\sum }_{k=1}^7{a}_{2k}={\sum }_{k=1}^7{k}^2-{\sum }_{k=1}^7{a}_{2k-1}$

${\sum }_{k=1}^7{a}_{2k-1}+{\sum }_{k=1}^7{a}_{2k}={\sum }_{k=1}^7{k}^2$

step2. 전체 합으로 결합

${\sum }_{k=1}^7(a_{2k-1}+a_{2k})={\sum }_{k=1}^{14}{a}_k$   --- (홀수 항과 짝수 항의 합)

$\therefore {\sum }_{k=1}^{14}{a}_k={\sum }_{k=1}^7{k}^2$

step3. 공식 적용 및 계산

${\sum }_{k=1}^7{k}^2=\frac{7\times 8\times 15}{6}$   --- (자연수 거듭제곱의 합 공식)

$=7\times 4\times 5=140$

$\therefore 140$

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