2026년 5월 학력평가 (고3) 수학 19번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2026년 5월 학력평가 (고3) 수학 19번
문제의 분류	고등학교 (도함수의 활용 - 방정식과 부등식)
난이도	중

🔍 이해용 풀이

문제

19. $x$에 대한 방정식 $x^3-3a{x}^2+40a^2=0$의 서로 다른 양의 실근의 개수가 1일 때, 양수 $a$의 값을 구하시오. [3점]

1. 문제의 요지

이 문제는 3차 방정식의 실근의 개수를 함수의 그래프를 이용하여 분석하고, 주어진 조건을 만족하는 미지수의 값을 구하는 것을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 방정식: $x^3-3a{x}^2+40a^2=0$
- 서로 다른 양의 실근의 개수 = 1
- $a>0$

3. 풀이의 순서

이 문제는 도함수를 이용하여 함수의 그래프 개형을 파악하고, 극값의 부호를 통해 실근의 개수를 판별하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 주어진 방정식의 좌변을 함수 $f(x)$로 두고, 도함수 $f^{\prime }(x)$를 구하여 극값을 갖는 $x$의 위치를 찾습니다.

step2. $a>0$이라는 조건을 이용하여 $x>0$ 구간에서의 함수 $f(x)$의 증감과 그래프의 개형을 파악합니다.

step3. 양의 실근이 1개가 되기 위한 극솟값의 조건을 설정하고, 이를 만족하는 $a$의 값을 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 도함수를 이용한 함수의 증감과 극대·극소: 함수 $f(x)$가 미분가능할 때, $f^{\prime }(x)=0$인 점에서 극값을 가질 수 있으며, $f^{\prime }(x)$의 부호 변화에 따라 함수의 증감을 판단할 수 있다.

- 방정식의 실근과 함수의 그래프: 방정식 $f(x)=0$의 실근은 함수 $y=f(x)$의 그래프가 $x$축과 만나는 점의 $x$좌표와 같다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 방정식의 실근의 개수 문제는 좌변을 함수 $f(x)$로 두고, 도함수를 이용하여 그래프의 개형을 그린 후 $x$축과의 교점의 개수를 파악하는 것이 핵심입니다.

step1. 주어진 방정식의 좌변을 $f(x)$라 하고 도함수를 구합니다.

$f(x)=x^3-3a{x}^2+40a^2$ 이라 하면,

$f^{\prime }(x)=3x^2-6ax=3x(x-2a)$ 입니다.

$f^{\prime }(x)=0$을 만족하는 $x$의 값은 $x=0$ 또는 $x=2a$ 입니다.

step2. $x>0$ 구간에서의 그래프 개형을 파악합니다.

문제에서 $a>0$이라고 했으므로, $0<2a$ 입니다.

함수 $f(x)$의 증감을 살펴보면,

- $x<0$ 일 때 $f^{\prime }(x)>0$ 이므로 증가

- $0<x<2a$ 일 때 $f^{\prime }(x)<0$ 이므로 감소

- $x>2a$ 일 때 $f^{\prime }(x)>0$ 이므로 증가합니다.

따라서 $f(x)$는 $x=0$에서 극댓값 $f(0)=40a^2$을 가지고, $x=2a$에서 극솟값 $f(2a)$를 가집니다.

$a>0$이므로 극댓값 $f(0)=40a^2>0$ 입니다.

step3. 양의 실근이 1개가 되기 위한 조건을 찾습니다.

$x>0$인 구간에서 그래프는 $(0,40a^2)$에서 출발하여 $x=2a$까지 감소하고, 그 이후로 다시 증가합니다.

이때 $x>0$에서 $x$축과 만나는 교점(양의 실근)의 개수는 극솟값 $f(2a)$의 부호에 따라 결정됩니다.

- $f(2a)>0$ 이면: $x$축과 만나지 않으므로 양의 실근은 0개입니다.

- $f(2a)=0$ 이면: $x=2a$에서 $x$축에 접하므로 서로 다른 양의 실근은 1개입니다.

- $f(2a)<0$ 이면: $0<x<2a$ 구간에서 1개, $x>2a$ 구간에서 1개 만나므로 서로 다른 양의 실근은 2개입니다.

[함정경고] 극솟값이 0보다 작아야 실근을 갖는다고 착각하여 $f(2a)<0$으로 풀면 양의 실근이 2개가 되어 오답이 됩니다. '서로 다른' 양의 실근이 1개이려면 $x$축에 접해야 함을 명심해야 합니다.

따라서 서로 다른 양의 실근의 개수가 1개가 되려면 극솟값이 0이어야 합니다.

$f(2a)=(2a{)}^3-3a(2a{)}^2+40a^2=0$

$8a^3-12a^3+40a^2=0$

$-4a^3+40a^2=0$

$-4a^2(a-10)=0$

$a>0$이므로 $a=10$ 입니다.

[정답] 10

⚡ 실전용 풀이

step1. 도함수와 극값 위치

$f(x)=x^3-3a{x}^2+40a^2$

$f^{\prime }(x)=3x^2-6ax=3x(x-2a)$

$f^{\prime }(x)=0$ 에서 $x=0$ 또는 $x=2a$

step2. 그래프 개형 파악

$a>0$ 이므로 $0<2a$

$x=0$ 에서 극대, $f(0)=40a^2>0$

$x=2a$ 에서 극소, $f(2a)=-4a^3+40a^2$

step3. 양의 실근 조건

---(양의 실근이 1개이려면 극솟값이 0이어야 하므로)

$f(2a)=-4a^3+40a^2=0$

$-4a^2(a-10)=0$

$a>0$ 이므로

$\therefore 10$

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