2026년 5월 학력평가 (고3) 수학 20번

고3 수학/(2027학년도) 2026년 5월 학평 고3 수학 공통과목

2026년 5월 학력평가 (고3) 수학 20번

수학여정 mathjourney 2026. 5. 7. 23:17

수학여정 - 문제 분석 리포트

2026년 5월 학력평가 (고3) 수학 20번
문제의 분류	고등학교 (수열)
난이도	중상

🔍 이해용 풀이

문제

첫째항이 8인 등차수열

a_{n}

에 대하여 수열

b_{n}

이 다음 조건을 만족시킬 때,

\sum_{k = 1}^{10} b_{k}

의 값을 구하시오. [4점] (가) 모든 자연수

n

에 대하여

b_{n} = {\begin{matrix} - 2 a_{n} & (a_{n} \leq 0) \\ a_{n} & (a_{n} > 0) \end{matrix}

이다. (나)

b_{3} + b_{5} = 2 b_{4} + 6, b_{4} + b_{6} = 2 b_{5}

1. 문제의 요지

이 문제는 등차수열의 성질과 조건에 따라 정의된 새로운 수열의 규칙을 파악하여 공차를 구하고, 수열의 합을 계산할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 수열

a_{n}

은 첫째항이 8인 등차수열
- 모든 자연수

n

에 대하여

b_{n} = {\begin{matrix} - 2 a_{n} & (a_{n} \leq 0) \\ a_{n} & (a_{n} > 0) \end{matrix}

b_{3} + b_{5} = 2 b_{4} + 6

b_{4} + b_{6} = 2 b_{5}

3. 풀이의 순서

이 문제는 수열의 부호 변화를 기준으로 경우를 나누어 공차를 구하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 조건 (나)의 두 번째 식 $b_{4} + b_{6} = 2 b_{5}$ 를 통해 $b_{4}, b_{5}, b_{6}$ 이 등차수열을 이룸을 파악합니다.

step2. 조건 (나)의 첫 번째 식 $b_{3} + b_{5} = 2 b_{4} + 6$ 을 통해 $b_{3}, b_{4}, b_{5}$ 는 등차수열이 아님을 파악하고, $a_{n}$ 의 부호가 바뀌는 지점을 찾습니다.

step3. $a_{n}$ 의 부호가 바뀌는 경우를 나누어 공차 $d$ 를 구하고, 조건에 맞는 $d$ 를 확정합니다.

step4. 확정된 공차를 바탕으로 $b_{1}$ 부터 $b_{10}$ 까지의 값을 구하여 합을 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 등차중항: 세 수 $x, y, z$ 가 이 순서대로 등차수열을 이룰 때, $x + z = 2 y$ 가 성립한다.

- 등차수열의 일반항: 첫째항이 $a$ , 공차가 $d$ 인 등차수열의 일반항은 $a_{n} = a + (n - 1) d$ 이다.

- 등차수열의 합: 첫째항이 $a$ , 제 $n$ 항이 $l$ 인 등차수열의 첫째항부터 제 $n$ 항까지의 합은 $S_{n} = \frac{n (a + l)}{2}$ 이다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 조건 (나)의 두 식을 통해 수열 $b_{n}$ 이 어느 구간에서 등차수열을 이루고 어느 구간에서 규칙이 깨지는지 파악하여, 수열 $a_{n}$ 의 부호가 바뀌는 지점을 찾는 것이 핵심입니다.

step1. 수열 $a_{n}$ 은 첫째항이 8이고 공차가 $d$ 인 등차수열이므로 $a_{n} = 8 + (n - 1) d$ 입니다.

조건 (나)에서 $b_{4} + b_{6} = 2 b_{5}$ 이므로 $b_{4}, b_{5}, b_{6}$ 은 이 순서대로 등차수열을 이룹니다.

step2. 만약 $a_{3}, a_{4}, a_{5}$ 의 부호가 모두 같다면, $b_{3}, b_{4}, b_{5}$ 는 $a_{n}$ 에 같은 상수를 곱한 형태가 되어 등차수열을 이루어야 합니다. 즉, $b_{3} + b_{5} = 2 b_{4}$ 가 성립해야 합니다.

하지만 조건 (나)에서 $b_{3} + b_{5} = 2 b_{4} + 6$ 이므로, $b_{3}, b_{4}, b_{5}$ 는 등차수열이 아닙니다.

따라서 $a_{3}, a_{4}, a_{5}$ 사이에서 부호가 바뀌어야 합니다.

$a_{1} = 8 > 0$ 이므로, 수열 $a_{n}$ 은 감소하는 수열이어야 부호가 바뀔 수 있습니다. 즉, 공차 $d < 0$ 입니다.

step3. $a_{n}$ 의 부호가 바뀌는 지점에 따라 경우를 나누어 봅니다.

경우 1: $a_{4} > 0, a_{5} \leq 0$ 인 경우

$b_{4} = a_{4}, b_{5} = - 2 a_{5}, b_{6} = - 2 a_{6}$ 이 됩니다.

$b_{4} + b_{6} = 2 b_{5}$ 에 대입하면 $a_{4} - 2 a_{6} = - 4 a_{5}$ 입니다.

$(8 + 3 d) - 2 (8 + 5 d) = - 4 (8 + 4 d)$

$- 8 - 7 d = - 32 - 16 d$

$9 d = - 24 \Rightarrow d = - \frac{8}{3}$

이때 $a_{4} = 8 + 3 (- \frac{8}{3}) = 0$ 이 되어 $a_{4} > 0$ 이라는 가정에 모순입니다.

경우 2: $a_{3} > 0, a_{4} \leq 0$ 인 경우

$b_{3} = a_{3}, b_{4} = - 2 a_{4}, b_{5} = - 2 a_{5}, b_{6} = - 2 a_{6}$ 이 됩니다.

이때 $b_{4}, b_{5}, b_{6}$ 은 모두 $- 2 a_{n}$ 형태이므로 $b_{4} + b_{6} = 2 b_{5}$ 는 항상 성립합니다.

$b_{3} + b_{5} = 2 b_{4} + 6$ 에 대입하면 $a_{3} - 2 a_{5} = - 4 a_{4} + 6$ 입니다.

$(8 + 2 d) - 2 (8 + 4 d) = - 4 (8 + 3 d) + 6$

$- 8 - 6 d = - 32 - 12 d + 6$

$6 d = - 18 \Rightarrow d = - 3$

이때 $a_{3} = 8 + 2 (- 3) = 2 > 0$ , $a_{4} = 8 + 3 (- 3) = - 1 \leq 0$ 이 되어 가정을 만족합니다.

따라서 공차 $d = - 3$ 입니다.

[함정경고] 부호가 바뀌는 지점을 가정할 때, $a_{n} = 0$ 이 되는 경우를 놓치지 않도록 주의해야 합니다. 조건 (가)에서 $a_{n} \leq 0$ 일 때와 $a_{n} > 0$ 일 때로 나뉘어 있으므로 등호 포함 여부를 정확히 확인해야 합니다.

step4. $d = - 3$ 이므로 $a_{n} = 11 - 3 n$ 입니다.

$a_{1} = 8, a_{2} = 5, a_{3} = 2, a_{4} = - 1, a_{5} = - 4, \dots$

조건 (가)에 따라 $b_{n}$ 을 구하면,

$n \leq 3$ 일 때 $a_{n} > 0$ 이므로 $b_{n} = a_{n}$ 입니다.

$b_{1} = 8, b_{2} = 5, b_{3} = 2$

$n \geq 4$ 일 때 $a_{n} \leq 0$ 이므로 $b_{n} = - 2 a_{n}$ 입니다.

$b_{4} = 2, b_{5} = 8, b_{6} = 14, b_{7} = 20, b_{8} = 26, b_{9} = 32, b_{1} 0 = 38$

$b_{4}$ 부터 $b_{10}$ 까지는 첫째항이 2이고 공차가 6인 등차수열을 이룹니다.

$\sum_{k = 1}^{10} b_{k} = (b_{1} + b_{2} + b_{3}) + \sum_{k = 4}^{10} b_{k}$

$= (8 + 5 + 2) + \frac{7 (2 + 38)}{2}$

$= 15 + 7 \times 20 = 15 + 140 = 155$

[정답] 155

⚡ 실전용 풀이

step1. 조건 분석

$b_{4} + b_{6} = 2 b_{5}$ $\Rightarrow$ $b_{4}, b_{5}, b_{6}$ 은 등차수열

step2. 부호 변화 지점 파악

$b_{3} + b_{5} = 2 b_{4} + 6$ $\Rightarrow$ $b_{3}, b_{4}, b_{5}$ 는 등차수열 아님

$∴ a_{3}, a_{4}, a_{5}$ 사이에서 부호 바뀜 --- $d < 0$

step3. 경우 나누어 공차 구하기

$a_{3} > 0, a_{4} \leq 0$ 가정

$b_{3} = a_{3}, b_{4} = - 2 a_{4}, b_{5} = - 2 a_{5}$

$a_{3} - 2 a_{5} = - 4 a_{4} + 6$

$(8 + 2 d) - 2 (8 + 4 d) = - 4 (8 + 3 d) + 6$

$- 8 - 6 d = - 32 - 12 d + 6$

$6 d = - 18 \Rightarrow d = - 3$

--- $a_{3} = 2 > 0, a_{4} = - 1 \leq 0$ 만족

step4. 수열의 합 계산

$a_{n} = 11 - 3 n$

$b_{1} = 8, b_{2} = 5, b_{3} = 2$

$b_{4} = 2, b_{5} = 8, \dots, b_{10} = 38$

$\sum_{k = 1}^{10} b_{k} = (8 + 5 + 2) + \frac{7 (2 + 38)}{2}$

$= 15 + 140 = 155$

$∴ 155$

MATHJOURNEY · AI 수학 분석

해설을 봐도

강의를 들어도

모를 때

그냥 넘어가지 말고, 포기하지 말고.

아직 수학여정을 만나지 않았다면

포기하기 이를 때

수학 문제 사진 한 장으로 막힌 문제를 해결하세요

그림해설 AI 분석 리포트

🗺️

수학여정

📷 수학여정 바로 시작하기