2026년 5월 학력평가 (고3) 수학 21번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2026년 5월 학력평가 (고3) 수학 21번
문제의 분류	고등학교 (미분과 적분 - 함수의 연속과 미분가능성, 삼차함수의 그래프)
난이도	최상

🔍 이해용 풀이

문제

최고차항의 계수가 1이고 $f(0)=0$인 삼차함수 $f(x)$가 있다. 양수 $p$와 실수 $k(k\ne 0)$에 대하여 함수 $g(x)=\{\begin{array}{cc}f(x)\hfill & (x<p)\hfill \\ kf(x-p)\hfill & (x\ge p)\hfill \end{array}$ 가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 함수 $g(x)$는 실수 전체의 집합에서 미분가능하다. (나) $x$에 대한 방정식 $g(x)=0$의 서로 다른 모든 실근의 합이 $2p$이다. 함수 $g(x)$의 극값 중 가장 큰 값이 $\frac{3\sqrt{3}}{2}$ 일 때, $f(4)$의 값을 구하시오.

1. 문제의 요지

이 문제는 삼차함수의 미분가능성 조건과 실근의 합 조건을 이용하여 함수식을 추론하고, 극값 조건을 통해 미지수를 결정하는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- $f(x)$는 최고차항의 계수가 1인 삼차함수
- $f(0)=0$
- $p>0$, $k\ne 0$
- $g(x)=\{\begin{array}{cc}f(x)\hfill & (x<p)\hfill \\ kf(x-p)\hfill & (x\ge p)\hfill \end{array}$
- (가) $g(x)$는 실수 전체에서 미분가능
- (나) $g(x)=0$의 서로 다른 모든 실근의 합은 $2p$
- $g(x)$의 극값 중 가장 큰 값은 $\frac{3\sqrt{3}}{2}$

3. 풀이의 순서

이 문제는 함수의 미분가능성과 실근의 합 조건을 통해 삼차함수의 식을 추론하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. $g(x)$가 $x=p$에서 미분가능할 조건을 이용하여 $f(p)=0$과 $f^{\prime }(p)=k{f}^{\prime }(0)$을 도출합니다.

step2. $f(x)=x(x-p)(x-a)$로 두고, $g(x)=0$의 실근을 $a$의 범위에 따라 나누어 구합니다.

step3. 실근의 합이 $2p$라는 조건을 이용하여 $a$와 $p$의 관계를 찾고, $k$의 값을 구합니다.

step4. $g(x)$의 극값을 구하고, 가장 큰 극값이 $\frac{3\sqrt{3}}{2}$임을 이용하여 $p$의 값을 확정합니다.

step5. 완성된 $f(x)$ 식에 $x=4$를 대입하여 정답을 도출합니다.

4. 풀이의 도구

- 미분가능성 조건: 함수 $g(x)$가 $x=p$에서 미분가능하려면 $x=p$에서 연속이어야 하고, 좌미분계수와 우미분계수가 같아야 합니다.

- 삼차함수의 극값: 다항함수 $f(x)$가 $x=\alpha$에서 극값을 가지면 $f^{\prime }(\alpha )=0$입니다.

5. 구체적 풀이

step1. $g(x)$가 실수 전체에서 미분가능하므로 $x=p$에서도 미분가능해야 합니다.

먼저 $x=p$에서 연속이어야 하므로,

${lim}_{x\to p-}g(x)={lim}_{x\to p+}g(x)$

$f(p)=kf(0)$

조건에서 $f(0)=0$이므로 $f(p)=0$입니다.

다음으로 $x=p$에서 미분계수가 존재해야 하므로,

${lim}_{x\to p-}{g}^{\prime }(x)={lim}_{x\to p+}{g}^{\prime }(x)$

$f^{\prime }(p)=k{f}^{\prime }(0)$이 성립합니다.

step2. $f(x)$는 최고차항의 계수가 1인 삼차함수이고 $f(0)=0$, $f(p)=0$이므로

$f(x)=x(x-p)(x-a)$ (단, $a$는 상수)로 둘 수 있습니다.

$f^{\prime }(x)=(x-p)(x-a)+x(x-a)+x(x-p)$이므로

$f^{\prime }(p)=p(p-a)$, $f^{\prime }(0)=pa$입니다.

$f^{\prime }(p)=k{f}^{\prime }(0)$에 대입하면 $p(p-a)=kpa$가 됩니다.

$p>0$이므로 양변을 $p$로 나누면 $p-a=ka$, 즉 $p=a(k+1)$입니다.

step3. 방정식 $g(x)=0$의 실근을 구해봅시다.

(i) $x<p$일 때: $g(x)=f(x)=0$에서 $x=0,p,a$입니다. $x<p$이므로 $x=0$은 항상 근이고, $a<p$일 때 $x=a$도 근이 됩니다.

(ii) $x\ge p$일 때: $g(x)=kf(x-p)=0$에서 $f(x-p)=0$이므로 $x-p=0,p,a$입니다. 즉, $x=p,2p,p+a$입니다. $p>0$이므로 $x=p,2p$는 항상 $x\ge p$를 만족하고, $a\ge 0$일 때 $x=p+a$도 근이 됩니다.

[키포인트] $a$의 값의 범위에 따라 실근의 종류가 달라지므로 경우를 나누어 생각해야 합니다.

Case 1: $a<0$인 경우

$x<p$에서 실근은 $0,a$입니다.

$x\ge p$에서 실근은 $p,2p,p+a$입니다. ($a<0$이므로 $p+a<p$가 되어 $x\ge p$ 범위에 들어가지 않습니다. [함정경고] 여기서 $p+a$의 범위를 놓치기 쉽습니다. $a<0$이면 $p+a<p$이므로 $x\ge p$ 범위의 근이 아닙니다.)

따라서 서로 다른 모든 실근은 $a,0,p,2p$입니다.

실근의 합은 $a+0+p+2p=a+3p$입니다.

조건 (나)에서 실근의 합이 $2p$이므로 $a+3p=2p$, 즉 $a=-p$입니다.

이때 $p=a(k+1)$에 대입하면 $p=-p(k+1)$이 되고, $p>0$이므로 $k+1=-1$, 즉 $k=-2$입니다.

Case 2: $0\le a<p$인 경우

$x<p$에서 실근은 $0,a$입니다.

$x\ge p$에서 실근은 $p,2p,p+a$입니다.

서로 다른 모든 실근은 $0,a,p,2p,p+a$입니다. (만약 $a=0$이면 $0,p,2p$)

$a=0$이면 실근의 합은 $3p=2p$가 되어 $p=0$이므로 모순입니다.

$a>0$이면 실근의 합은 $2a+4p=2p$가 되어 $a=-p$이므로 $a>0$에 모순입니다.

Case 3: $a\ge p$인 경우

$x<p$에서 실근은 $0$입니다.

$x\ge p$에서 실근은 $p,2p,p+a$입니다.

서로 다른 모든 실근은 $0,p,2p,p+a$입니다. (만약 $a=p$이면 $0,p,2p$)

$a=p$이면 실근의 합은 $3p=2p$가 되어 모순입니다.

$a>p$이면 실근의 합은 $4p+a=2p$가 되어 $a=-2p$이므로 $a>p>0$에 모순입니다.

따라서 Case 1만 성립하며, $a=-p$, $k=-2$입니다.

$f(x)=x(x-p)(x+p)=x(x^2-p^2)=x^3-p^{2}x$입니다.

step4. $g(x)$의 극값을 구해봅시다.

$x<p$에서 $g(x)=x^3-p^{2}x$입니다.

$g^{\prime }(x)=3x^2-p^2=0$에서 $x=\pm \frac{p}{\sqrt{3}}$입니다.

$x=-\frac{p}{\sqrt{3}}$에서 극댓값 $g(-\frac{p}{\sqrt{3}})=-\frac{p^3}{3\sqrt{3}}+\frac{p^3}{\sqrt{3}}=\frac{2p^3}{3\sqrt{3}}$을 가집니다.

$x\ge p$에서 $g(x)=-2f(x-p)$입니다.

$g^{\prime }(x)=-2f^{\prime }(x-p)=0$에서 $x-p=\pm \frac{p}{\sqrt{3}}$, 즉 $x=p\pm \frac{p}{\sqrt{3}}$입니다.

$x\ge p$이므로 $x=p+\frac{p}{\sqrt{3}}$에서 극댓값을 가집니다.

$g(p+\frac{p}{\sqrt{3}})=-2f(\frac{p}{\sqrt{3}})=-2(-\frac{2p^3}{3\sqrt{3}})=\frac{4p^3}{3\sqrt{3}}$입니다.

두 극댓값 중 더 큰 값은 $\frac{4p^3}{3\sqrt{3}}$이므로,

$\frac{4p^3}{3\sqrt{3}}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$입니다.

$8p^3=27$이 되어 $p^3=\frac{27}{8}$, 즉 $p=\frac{3}{2}$입니다.

step5. $p=\frac{3}{2}$이므로 $f(x)=x(x^2-\frac{9}{4})$입니다.

따라서 $f(4)=4(16-\frac{9}{4})=64-9=55$입니다.

[정답] 55

⚡ 실전용 풀이

step1. 미분가능성 조건

$f(p)=kf(0)=0$

$f^{\prime }(p)=k{f}^{\prime }(0)$

step2. f(x) 설정

$f(x)=x(x-p)(x-a)$

$f^{\prime }(p)=p(p-a),f^{\prime }(0)=pa$

$p(p-a)=kpa⟹p=a(k+1)$

step3. 실근 조건

$g(x)=0$의 근:

$x<p$: $0,a$

$x\ge p$: $p,2p,p+a$

$a<0$일 때, $p+a<p$이므로 근은 $a,0,p,2p$

합: $a+3p=2p⟹a=-p$

$p=-p(k+1)⟹k=-2$

$f(x)=x(x^2-p^2)$

step4. 극값 조건

$x<p$: $g(x)=x^3-p^{2}x$, 극댓값 $g(-\frac{p}{\sqrt{3}})=\frac{2p^3}{3\sqrt{3}}$

$x\ge p$: $g(x)=-2f(x-p)$, 극댓값 $g(p+\frac{p}{\sqrt{3}})=\frac{4p^3}{3\sqrt{3}}$

$\frac{4p^3}{3\sqrt{3}}=\frac{3\sqrt{3}}{2}⟹8p^3=27⟹p=\frac{3}{2}$

step5. 정답 도출

$f(x)=x(x^2-\frac{9}{4})$

$f(4)=4(16-\frac{9}{4})=55$

$\therefore 55$

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