2025년 5월 학력평가 (고3) 수학 "확률과 통계" 24번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2025년 5월 학력평가 (고3) 수학 "확률과 통계" 24번
문제의 분류	고등학교 (확률과 통계 - 이항정리)
난이도	하

🔍 이해용 풀이

문제

다항식 ${(x+\frac{1}{2})}^8$의 전개식에서 $x^5$의 계수는? [3점] ① 4 ② 5 ③ 6 ④ 7 ⑤ 8

1. 문제의 요지

이 문제는 이항정리의 일반항을 이용하여 특정 차수의 항의 계수를 구할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 다항식: ${(x+\frac{1}{2})}^8$
- 구해야 할 것: $x^5$의 계수

3. 풀이의 순서

이 문제는 이항정리의 일반항 공식을 이용하여 특정 항의 계수를 구하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 이항정리의 일반항 공식을 이용하여 주어진 다항식의 일반항을 작성합니다.

step2. $x^5$이 나오기 위한 $r$의 값을 구합니다.

step3. 구한 $r$의 값을 일반항에 대입하여 계수를 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 이항정리의 일반항: $(a+b{)}^n$의 전개식에서 일반항은 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r}\right)a^{n-r}{b}^r$ (단, $r=0,1,2,\dots ,n$) 입니다.

5. 구체적 풀이

이 문제는 이항정리를 이용하여 다항식의 전개식에서 특정 항의 계수를 구하는 문제입니다.

[키포인트] 이항정리의 일반항 공식을 정확히 알고, 원하는 차수가 나오도록 $r$ 값을 찾는 것이 핵심입니다.

step1. 이항정리의 일반항 공식을 이용하여 주어진 다항식의 일반항을 작성합니다.

이항정리에 의해 $(a+b{)}^n$의 전개식에서 일반항은 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r}\right)a^{n-r}{b}^r$ 입니다.

주어진 다항식 ${(x+\frac{1}{2})}^8$에서 $a=x$, $b=\frac{1}{2}$, $n=8$을 대입하면 일반항은 다음과 같습니다.

$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{r}\right)x^{8-r}{\left(\frac{1}{2}\right)}^r$

step2. $x^5$이 나오기 위한 $r$의 값을 구합니다.

우리가 구하고자 하는 것은 $x^5$의 계수이므로, $x$의 지수가 5가 되어야 합니다.

즉, $8-r=5$ 이어야 합니다.

따라서 $r=3$ 입니다.

[함정경고] $r$의 값을 구할 때, $x$의 지수 부분인 $8-r$을 5로 두어야 하는데, 실수로 $r=5$로 착각하여 계산하지 않도록 주의해야 합니다.

step3. 구한 $r$의 값을 일반항에 대입하여 계수를 계산합니다.

$r=3$을 일반항에 대입하면,

$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{3}\right)x^{8-3}{\left(\frac{1}{2}\right)}^3=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{3}\right)x^5{\left(\frac{1}{2}\right)}^3$

이제 계수 부분만 계산해 보겠습니다.

$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{3}\right)=\frac{8\times 7\times 6}{3\times 2\times 1}=56$

${\left(\frac{1}{2}\right)}^3=\frac{1}{8}$

따라서 계수는 $56\times \frac{1}{8}=7$ 입니다.

그러므로 $x^5$의 계수는 7이며, 정답은 ④번입니다.

[정답] ④

⚡ 실전용 풀이

step1. 일반항 작성

$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{r}\right)x^{8-r}{\left(\frac{1}{2}\right)}^r$

step2. r 값 구하기

$8-r=5$   --- (x⁵의 계수를 구해야 하므로)

$r=3$

step3. 계수 계산

$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{3}\right){\left(\frac{1}{2}\right)}^3$

$=\frac{8\times 7\times 6}{3\times 2\times 1}\times \frac{1}{8}$

$=56\times \frac{1}{8}$

$=7$

$\therefore 정답:④$

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