2025년 5월 학력평가 (고3) 수학 "확률과 통계" 25번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2025년 5월 학력평가 (고3) 수학 "확률과 통계" 25번
문제의 분류	고등학교 (확률과 통계 - 확률)
난이도	중하

🔍 이해용 풀이

문제

세 주사위 A, B, C를 동시에 던져서 나오는 눈의 수를 각각 $a,b,c$라 할 때, $a\times b\times c$의 값이 3의 배수일 확률은? [3점] ① $\frac{17}{27}$ ② $\frac{2}{3}$ ③ $\frac{19}{27}$ ④ $\frac{20}{27}$ ⑤ $\frac{7}{9}$

1. 문제의 요지

이 문제는 여사건의 확률을 이용하여 적어도 하나가 3의 배수일 확률을 구하는 것을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 세 주사위 A, B, C를 동시에 던짐
- 나오는 눈의 수를 각각 $a,b,c$라 함
- 구하는 확률: $a\times b\times c$가 3의 배수일 확률

3. 풀이의 순서

이 문제는 여사건의 확률을 이용하여 문제를 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 전체 경우의 수를 구합니다.

step2. $a\times b\times c$가 3의 배수가 될 조건을 파악하고, 여사건을 설정합니다.

step3. 여사건의 경우의 수와 확률을 구합니다.

step4. 전체 확률 1에서 여사건의 확률을 빼서 정답을 도출합니다.

4. 풀이의 도구

- 여사건의 확률: 어떤 사건 $A$가 일어날 확률을 $P(A)$라 할 때, 사건 $A$가 일어나지 않을 확률(여사건의 확률)은 $1-P(A)$이다. '적어도 ~일 확률'을 구할 때 유용하게 쓰인다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 곱이 3의 배수가 되려면 곱해지는 수 중 적어도 하나가 3의 배수여야 합니다. '적어도 하나'라는 조건이 있을 때는 여사건(반대되는 경우)을 이용하는 것이 훨씬 계산이 간단합니다.

step1. 전체 경우의 수를 구합니다.

세 주사위 A, B, C를 동시에 던질 때 나오는 모든 경우의 수는 $6\times 6\times 6=216$가지입니다.

step2. $a\times b\times c$가 3의 배수가 될 조건을 파악하고, 여사건을 설정합니다.

세 수의 곱 $a\times b\times c$가 3의 배수가 되려면 $a,b,c$ 중 적어도 하나는 3의 배수(3 또는 6)이어야 합니다.

이 사건의 여사건은 '$a,b,c$ 모두 3의 배수가 아닌 경우'입니다.

step3. 여사건의 경우의 수와 확률을 구합니다.

주사위의 눈 1, 2, 3, 4, 5, 6 중에서 3의 배수가 아닌 수는 1, 2, 4, 5로 총 4개입니다.

따라서 $a,b,c$ 모두 3의 배수가 아닌 눈이 나오는 경우의 수는 $4\times 4\times 4=64$가지입니다.

여사건의 확률은 $\frac{64}{216}$이며, 이를 약분하면 $\frac{8}{27}$이 됩니다.

step4. 전체 확률 1에서 여사건의 확률을 빼서 정답을 도출합니다.

구하는 확률은 $1-(여사건의확률)$이므로,

$1-\frac{8}{27}=\frac{19}{27}$입니다.

[함정경고] 3의 배수가 되는 경우를 직접 구하려고 하면 (1개가 3의 배수일 때, 2개가 3의 배수일 때, 3개가 3의 배수일 때) 경우를 나누어야 해서 계산이 복잡해지고 실수하기 쉽습니다. 여사건을 떠올리는 것이 중요합니다.

[정답] ③

⚡ 실전용 풀이

step1. 전체 경우의 수

$6\times 6\times 6=216$

step2. 여사건 설정

$a\times b\times c$가 3의 배수 $⟺$ $a,b,c$ 중 적어도 하나가 3의 배수

여사건: $a,b,c$ 모두 3의 배수가 아님

step3. 여사건의 확률

3의 배수가 아닌 눈: 1, 2, 4, 5   --- 4개

여사건의 경우의 수: $4\times 4\times 4=64$

여사건의 확률: $\frac{64}{216}=\frac{8}{27}$

step4. 정답 도출

$1-\frac{8}{27}=\frac{19}{27}$

$\therefore 정답③$

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