2025년 5월 학력평가 (고3) 수학 "확률과 통계" 26번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2025년 5월 학력평가 (고3) 수학 "확률과 통계" 26번
문제의 분류	고등학교 (확률과 통계 - 중복조합)
난이도	중상

🔍 이해용 풀이

문제

흰 공 5개와 검은 공 10개를 네 주머니 A, B, C, D에 다음 규칙에 따라 남김없이 나누어 넣는 경우의 수는? (단, 같은 색 공끼리는 서로 구별하지 않고, 검은 공을 넣지 않는 주머니가 있을 수 있다.) (가) 각 주머니에 흰 공을 1개 이상씩 넣는다. (나) 세 주머니 A, B, C에 넣는 흰 공의 개수의 합은 주머니 D에 넣는 검은 공의 개수와 같다. ① 120 ② 135 ③ 150 ④ 165 ⑤ 180

1. 문제의 요지

이 문제는 조건에 맞게 흰 공을 먼저 분배한 후, 그 결과에 따라 검은 공을 분배하는 중복조합의 활용을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 흰 공 5개, 검은 공 10개
- 주머니 A, B, C, D
- 같은 색 공끼리는 구별하지 않음
- 검은 공을 넣지 않는 주머니가 있을 수 있음
- (가) 각 주머니에 흰 공을 1개 이상씩 넣는다.
- (나) 세 주머니 A, B, C에 넣는 흰 공의 개수의 합은 주머니 D에 넣는 검은 공의 개수와 같다.

3. 풀이의 순서

이 문제는 조건에 따라 흰 공을 먼저 분배하고, 그 결과에 맞춰 검은 공을 분배하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 조건 (가)에 따라 흰 공 5개를 네 주머니에 1개 이상씩 넣는 경우를 나눕니다.

step2. 흰 공의 분배 결과에 따라 조건 (나)를 이용하여 주머니 D에 들어갈 검은 공의 개수를 확정합니다.

step3. 남은 검은 공을 주머니 A, B, C에 분배하는 경우의 수를 중복조합을 이용하여 계산하고, 모든 경우의 수를 더하여 정답을 도출합니다.

4. 풀이의 도구

- 중복조합: 서로 다른 $n$개에서 중복을 허락하여 $r$개를 택하는 경우의 수는 ${}_n{H}_r{=}_{n+r-1}{C}_r$ 입니다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 흰 공의 개수가 적으므로, 흰 공을 먼저 조건에 맞게 분배하여 기준을 세우는 것이 핵심입니다.

step1. 흰 공 분배하기

조건 (가)에 의해 각 주머니에 흰 공을 1개 이상씩 넣어야 합니다. 흰 공은 총 5개이므로, 네 주머니 A, B, C, D에 먼저 1개씩 넣으면 흰 공이 1개 남습니다.

이 남은 1개의 흰 공을 어느 주머니에 넣느냐에 따라 두 가지 경우로 나눌 수 있습니다.

step2. 경우를 나누어 검은 공 분배하기

경우 1: 남은 1개의 흰 공을 A, B, C 중 하나에 넣는 경우

- 흰 공을 넣는 방법의 수: A, B, C 중 하나를 선택하므로 $3$가지입니다.

- 이때 세 주머니 A, B, C에 들어가는 흰 공의 총 개수는 처음에 넣은 3개에 추가된 1개를 더해 $4$개가 됩니다.

- 조건 (나)에 의해 주머니 D에 넣는 검은 공의 개수는 A, B, C의 흰 공의 합과 같으므로 $4$개가 됩니다.

- 검은 공은 총 10개이므로, D에 4개를 넣고 남은 검은 공 $6$개를 주머니 A, B, C에 나누어 넣어야 합니다.

- [함정경고] 여기서 남은 검은 공을 D를 포함한 네 주머니에 분배한다고 착각하기 쉽습니다. 주머니 D에 들어가는 검은 공의 개수는 조건 (나)에 의해 이미 확정되었으므로, 남은 검은 공은 A, B, C 세 주머니에만 분배해야 합니다.

- 남은 검은 공 6개를 A, B, C 세 주머니에 넣는 경우의 수는 중복조합을 이용하여 ${}_3{H}_6$이 됩니다.

- ${}_3{H}_6{=}_{3+6-1}{C}_6{=}_8{C}_6{=}_8{C}_2=\frac{8\times 7}{2\times 1}=28$가지

- 따라서 경우 1의 총 경우의 수는 $3\times 28=84$가지입니다.

경우 2: 남은 1개의 흰 공을 D에 넣는 경우

- 흰 공을 넣는 방법의 수: D에 넣는 $1$가지입니다.

- 이때 세 주머니 A, B, C에 들어가는 흰 공의 총 개수는 처음에 넣은 $3$개입니다.

- 조건 (나)에 의해 주머니 D에 넣는 검은 공의 개수는 $3$개가 됩니다.

- 검은 공은 총 10개이므로, D에 3개를 넣고 남은 검은 공 $7$개를 주머니 A, B, C에 나누어 넣어야 합니다.

- 남은 검은 공 7개를 A, B, C 세 주머니에 넣는 경우의 수는 중복조합을 이용하여 ${}_3{H}_7$이 됩니다.

- ${}_3{H}_7{=}_{3+7-1}{C}_7{=}_9{C}_7{=}_9{C}_2=\frac{9\times 8}{2\times 1}=36$가지

- 따라서 경우 2의 총 경우의 수는 $1\times 36=36$가지입니다.

step3. 정답 도출

두 경우는 동시에 일어날 수 없으므로 합의 법칙에 의해 총 경우의 수는 $84+36=120$가지입니다.

따라서 정답은 ①번입니다.

[정답] ①

⚡ 실전용 풀이

step1. 흰 공 분배

흰 공 5개를 A, B, C, D에 1개 이상씩 분배

기본 1개씩 넣고 남은 1개를 분배하는 경우로 나눔

step2. 경우를 나누어 검은 공 분배

[경우 1] 남은 흰 공 1개를 A, B, C 중 하나에 넣을 때

흰 공 분배 경우의 수 = 3

A, B, C 흰 공 합 = 4

---(조건 (나)에 의해)

D의 검은 공 = 4

남은 검은 공 6개를 A, B, C에 분배

₃H₆ = ₈C₂ = 28

$\therefore 3\times 28=84$

[경우 2] 남은 흰 공 1개를 D에 넣을 때

흰 공 분배 경우의 수 = 1

A, B, C 흰 공 합 = 3

---(조건 (나)에 의해)

D의 검은 공 = 3

남은 검은 공 7개를 A, B, C에 분배

₃H₇ = ₉C₂ = 36

$\therefore 1\times 36=36$

step3. 정답 도출

84 + 36 = 120

$\therefore 120$

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