2025년 5월 학력평가 (고3) 수학 "확률과 통계" 28번

고3 수학/(2026학년도) 2025년 5월 학평 고3 수학 확률과통계

2025년 5월 학력평가 (고3) 수학 "확률과 통계" 28번

수학여정 mathjourney 2026. 5. 5. 15:15

수학여정 - 문제 분석 리포트

2025년 5월 학력평가 (고3) 수학 "확률과 통계" 28번
문제의 분류	고등학교 (경우의 수, 중복조합)
난이도	상

🔍 이해용 풀이

문제

집합

X = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

에 대하여 다음 조건을 만족시키는 함수

f : X \to X

의 개수는? [4점] (가)

2 f (1) + 2 f (2) + f (6) = f (3) + 16

(나)

f (3) \leq f (4) \leq f (5) \leq f (6)

① 288 ② 300 ③ 312 ④ 324 ⑤ 336

1. 문제의 요지

이 문제는 주어진 등식 조건과 부등식 조건을 동시에 만족하는 함수의 개수를 구하는 문제입니다. 특히, 등식 조건에서 짝수/홀수 성질을 이용하여 가능한 함숫값을 좁히고, 부등식 조건에 중복조합을 적용하는 것이 핵심입니다.

2. 주어진 조건

- 집합

X = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

- 함수

f : X \to X

- (가)

2 f (1) + 2 f (2) + f (6) = f (3) + 16

- (나)

f (3) \leq f (4) \leq f (5) \leq f (6)

3. 풀이의 순서

이 문제는 조건 (가)의 식을 변형하여 짝수/홀수 성질을 파악하고, 조건 (나)의 부등식에 중복조합을 적용하여 경우를 나누어 푸는 방법으로 해결합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 조건 (가)의 식을 $2 (f (1) + f (2)) = f (3) - f (6) + 16$ 으로 변형하여 $f (3)$ 과 $f (6)$ 의 관계를 파악합니다.

step2. $f (6) - f (3)$ 의 값에 따라 경우를 나눕니다.

step3. 각 경우에 대해 가능한 $(f (3), f (6))$ 의 순서쌍 개수를 구합니다.

step4. 각 경우에 대해 $f (1) + f (2)$ 의 값을 구하고, 이를 만족하는 $(f (1), f (2))$ 의 순서쌍 개수를 구합니다.

step5. 각 경우에 대해 조건 (나)를 만족하는 $f (4), f (5)$ 의 개수를 중복조합을 이용하여 구합니다.

step6. 각 경우의 수를 모두 곱하고 더하여 최종 함수의 개수를 도출합니다.

4. 풀이의 도구

- 중복조합: 서로 다른 $n$ 개에서 중복을 허락하여 $r$ 개를 선택하는 경우의 수는 $_{n} H_{r} =_{n + r - 1} C_{r}$ 입니다. 부등식 $a \leq b \leq c$ 형태의 조건을 만족하는 정수해의 개수를 구할 때 유용하게 사용됩니다.

- 홀짝성 (패리티): 정수의 합과 차, 곱에서 짝수와 홀수의 성질을 이용하는 방법입니다. 짝수 = 짝수 $\pm$ 짝수, 짝수 = 홀수 $\pm$ 홀수 임을 이용합니다.

5. 구체적 풀이

이 문제는 주어진 등식과 부등식 조건을 동시에 만족하는 함수의 개수를 구하는 문제입니다.

[키포인트] 조건 (가)의 등식에서 한쪽으로 항을 몰아 짝수/홀수 성질을 파악하는 것이 문제 해결의 첫걸음입니다.

step1. 조건 (가)의 식 변형 및 성질 파악

조건 (가)의 식 $2 f (1) + 2 f (2) + f (6) = f (3) + 16$ 을 다음과 같이 변형합니다.

$2 (f (1) + f (2)) = f (3) - f (6) + 16$

좌변 $2 (f (1) + f (2))$ 는 2의 배수이므로 항상 짝수입니다.

따라서 우변 $f (3) - f (6) + 16$ 도 짝수여야 합니다.

16이 짝수이므로, $f (3) - f (6)$ 도 짝수여야 합니다.

두 수의 차이가 짝수라는 것은 두 수의 홀짝성이 같다는 것을 의미합니다. 즉, $f (3)$ 과 $f (6)$ 은 둘 다 짝수이거나 둘 다 홀수여야 합니다.

step2. $f (6) - f (3)$ 의 값에 따른 경우 나누기

조건 (나)에서 $f (3) \leq f (4) \leq f (5) \leq f (6)$ 이므로 $f (3) \leq f (6)$ 입니다.

$f (3)$ 과 $f (6)$ 은 $1$ 부터 $6$ 까지의 자연수이고, 그 차이 $f (6) - f (3)$ 은 $0$ 이상의 짝수여야 하므로 가능한 값은 $0, 2, 4$ 입니다.

이제 $k = f (6) - f (3)$ 이라 두고, $k$ 의 값에 따라 세 가지 경우로 나누어 풀어봅시다.

step3. ~5. 각 경우별 경우의 수 계산

Case 1: $f (6) - f (3) = 0$ 인 경우

- $(f (3), f (6))$ 의 순서쌍: $f (3) = f (6)$ 이므로 $(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)$ 의 6가지입니다.

- $(f (1), f (2))$ 의 순서쌍: $2 (f (1) + f (2)) = 0 + 16$ 에서 $f (1) + f (2) = 8$ 입니다.

합이 8이 되는 순서쌍은 $(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)$ 의 5가지입니다.

- $f (4), f (5)$ 의 개수: $f (3) \leq f (4) \leq f (5) \leq f (6)$ 이고 $f (3) = f (6)$ 이므로 $f (4)$ 와 $f (5)$ 는 선택의 여지 없이 $f (3)$ 과 같은 값을 가져야 합니다. 즉, 1가지입니다.

- Case 1의 총 경우의 수: $6 \times 5 \times 1 = 30$ 가지

Case 2: $f (6) - f (3) = 2$ 인 경우

- $(f (3), f (6))$ 의 순서쌍: 차이가 2인 쌍은 $(1, 3), (2, 4), (3, 5), (4, 6)$ 의 4가지입니다.

- $(f (1), f (2))$ 의 순서쌍: $2 (f (1) + f (2)) = - 2 + 16 = 14$ 에서 $f (1) + f (2) = 7$ 입니다.

합이 7이 되는 순서쌍은 $(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)$ 의 6가지입니다.

- $f (4), f (5)$ 의 개수: $f (3)$ 이상 $f (6)$ 이하의 자연수는 총 3개입니다. 이 3개의 수 중에서 중복을 허락하여 2개를 뽑아 크기순으로 나열하는 경우의 수와 같으므로 중복조합 $_{3} H_{2}$ 를 사용합니다.

$_{3} H_{2} =_{3 + 2 - 1} C_{2} =_{4} C_{2} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ 가지입니다.

[함정경고] 여기서 $f (4)$ 와 $f (5)$ 를 각각 독립적으로 선택한다고 착각하여 $3 \times 3 = 9$ 가지로 계산하지 않도록 주의해야 합니다. 부등호 $\leq$ 가 있으므로 중복조합을 써야 합니다.

- Case 2의 총 경우의 수: $4 \times 6 \times 6 = 144$ 가지

Case 3: $f (6) - f (3) = 4$ 인 경우

- $(f (3), f (6))$ 의 순서쌍: 차이가 4인 쌍은 $(1, 5), (2, 6)$ 의 2가지입니다.

- $(f (1), f (2))$ 의 순서쌍: $2 (f (1) + f (2)) = - 4 + 16 = 12$ 에서 $f (1) + f (2) = 6$ 입니다.

합이 6이 되는 순서쌍은 $(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)$ 의 5가지입니다.

- $f (4), f (5)$ 의 개수: $f (3)$ 이상 $f (6)$ 이하의 자연수는 총 5개입니다. 이 중에서 중복을 허락하여 2개를 뽑는 경우의 수이므로 $_{5} H_{2}$ 입니다.

$_{5} H_{2} =_{5 + 2 - 1} C_{2} =_{6} C_{2} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$ 가지입니다.

- Case 3의 총 경우의 수: $2 \times 5 \times 15 = 150$ 가지

step6. 최종 정답 도출

위 세 가지 경우는 동시에 일어날 수 없으므로 합의 법칙을 적용합니다.

총 함수의 개수 = $30 + 144 + 150 = 324$ 개입니다.

따라서 정답은 ④번입니다.

[정답] ④

⚡ 실전용 풀이

step1. 조건 (가) 변형

$2 (f (1) + f (2)) = f (3) - f (6) + 16$

---(좌변이 짝수이므로 우변도 짝수)

$∴ f (3) - f (6)$ 은 짝수 --- 홀짝성 동일

step2. 경우 나누기

(나)에서 $f (3) \leq f (6)$ 이므로 $f (6) - f (3) \in {0, 2, 4}$

step3. ~5. 각 경우 계산

[1] $f (6) - f (3) = 0$

$(f (3), f (6))$ : 6가지

$f (1) + f (2) = 8 \Rightarrow (f (1), f (2))$ : 5가지

$f (4), f (5)$ : $_{1} H_{2} = 1$ 가지

$\Rightarrow 6 \times 5 \times 1 = 30$

[2] $f (6) - f (3) = 2$

$(f (3), f (6))$ : 4가지

$f (1) + f (2) = 7 \Rightarrow (f (1), f (2))$ : 6가지

$f (4), f (5)$ : $_{3} H_{2} = 6$ 가지

$\Rightarrow 4 \times 6 \times 6 = 144$

[3] $f (6) - f (3) = 4$

$(f (3), f (6))$ : 2가지

$f (1) + f (2) = 6 \Rightarrow (f (1), f (2))$ : 5가지

$f (4), f (5)$ : $_{5} H_{2} = 15$ 가지

$\Rightarrow 2 \times 5 \times 15 = 150$

step6. 정답 도출

$∴ 30 + 144 + 150 = 324$

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