2025년 5월 학력평가 (고3) 수학 2번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2025년 5월 학력평가 (고3) 수학 2번
문제의 분류	고등학교 (미분계수와 도함수)
난이도	하

🔍 이해용 풀이

문제

함수 $f(x)=x^3-2x+5$에 대하여 ${lim}_{h\to 0}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}$의 값은? ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 ⑤ 5

1. 문제의 요지

이 문제는 미분계수의 정의를 이해하고, 다항함수의 도함수를 구하여 특정한 점에서의 미분계수를 계산할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 함수 $f(x)=x^3-2x+5$
- 구해야 할 식: ${lim}_{h\to 0}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}$

3. 풀이의 순서

이 문제는 미분계수의 정의를 이용하여 극한식을 도함수의 함숫값으로 변환한 후 계산하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 주어진 극한식이 미분계수 $f^{\prime }(1)$을 의미함을 파악합니다.

step2. 함수 $f(x)$의 도함수 $f^{\prime }(x)$를 구합니다.

step3. 도함수 $f^{\prime }(x)$에 $x=1$을 대입하여 $f^{\prime }(1)$의 값을 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 미분계수의 정의: 함수 $f(x)$가 $x=a$에서 미분가능할 때, ${lim}_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=f^{\prime }(a)$이다.

- 다항함수의 미분법: $f(x)=x^n$ (n은 자연수)이면 $f^{\prime }(x)=n{x}^{n-1}$이고, 상수 $c$에 대하여 $(c{)}^{\prime }=0$이다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 주어진 극한식 ${lim}_{h\to 0}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}$가 미분계수 $f^{\prime }(1)$의 정의와 정확히 일치함을 파악하는 것이 핵심입니다.

step1. 극한식의 의미 파악

미분계수의 정의에 따라, 함수 $f(x)$가 $x=a$에서 미분가능할 때 $f^{\prime }(a)={lim}_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$가 성립합니다.

따라서 문제에서 구하고자 하는 식은 $a=1$일 때의 미분계수인 $f^{\prime }(1)$을 의미합니다.

step2. 도함수 $f^{\prime }(x)$ 구하기

주어진 함수는 $f(x)=x^3-2x+5$입니다.

다항함수의 미분법을 이용하여 각 항을 미분합니다.

$f^{\prime }(x)=\frac{d}{dx}(x^3)-\frac{d}{dx}(2x)+\frac{d}{dx}(5)$

$f^{\prime }(x)=3x^2-2$

step3. $f^{\prime }(1)$의 값 계산

구해진 도함수 $f^{\prime }(x)=3x^2-2$에 $x=1$을 대입합니다.

$f^{\prime }(1)=3(1{)}^2-2=3-2=1$

[함정경고] 극한식을 직접 대입하여 풀 수도 있지만, 계산이 복잡해지고 실수할 확률이 높아집니다. 미분계수의 정의를 활용하여 도함수를 구한 뒤 대입하는 것이 훨씬 빠르고 정확합니다.

따라서 구하는 값은 1이며, 정답은 ①번입니다.

[정답] ①

⚡ 실전용 풀이

step1. 극한식의 의미 파악

${lim}_{h\to 0}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=f^{\prime }(1)$   --- (미분계수의 정의)

step2. 도함수 구하기

$f(x)=x^3-2x+5$

$f^{\prime }(x)=3x^2-2$

step3. 값 계산

$f^{\prime }(1)=3(1{)}^2-2=1$

$\therefore 정답:①$

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