2025년 5월 학력평가 (고3) 수학 3번

고3 수학/(2026학년도) 2025년 5월 학평 고3 수학 공통과목

2025년 5월 학력평가 (고3) 수학 3번

수학여정 mathjourney 2026. 5. 5. 14:12

수학여정 - 문제 분석 리포트

2025년 5월 학력평가 (고3) 수학 3번
문제의 분류	고등학교 (수학 I - 수열)
난이도	하

🔍 이해용 풀이

문제

첫째항과 공비가 모두 양수

k

인 등비수열

a_{n}

이

a_{2} (k^{2} + 1) = 3 a_{4}

를 만족시킬 때,

a_{3}

의 값은? [3점] ①

\frac{\sqrt{2}}{8}

②

\frac{\sqrt{3}}{9}

③

\frac{\sqrt{2}}{4}

④

\frac{\sqrt{3}}{3}

⑤

\frac{\sqrt{3}}{2}

1. 문제의 요지

이 문제는 등비수열의 일반항 공식을 이용하여 주어진 조건을 $k$ 에 대한 방정식으로 나타내고, 이를 풀어 $k$ 의 값을 구한 뒤 특정 항의 값을 계산할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 등비수열

a_{n}

의 첫째항

a = k

(

k > 0

)
- 등비수열

a_{n}

의 공비

r = k

(

k > 0

)
-

a_{2} (k^{2} + 1) = 3 a_{4}

3. 풀이의 순서

이 문제는 등비수열의 일반항을 이용하여 주어진 관계식을 $k$ 에 대한 방정식으로 변환하여 푸는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 등비수열의 일반항 공식을 이용하여 $a_{2}$ 와 $a_{4}$ 를 $k$ 에 대한 식으로 나타냅니다.

step2. 주어진 조건식에 대입하여 $k$ 에 대한 방정식을 세우고, $k > 0$ 조건을 이용하여 $k$ 의 값을 구합니다.

step3. 구한 $k$ 의 값을 이용하여 $a_{3}$ 의 값을 계산하고 정답을 도출합니다.

4. 풀이의 도구

- 등비수열의 일반항: 첫째항이 $a$ , 공비가 $r$ 인 등비수열의 제 $n$ 항은 $a_{n} = a r^{n - 1}$ 이다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 등비수열의 첫째항과 공비가 주어졌으므로, 모든 항을 $k$ 에 대한 거듭제곱으로 표현할 수 있습니다. 이를 주어진 식에 대입하여 $k$ 의 값을 구하는 것이 핵심입니다.

step1. 등비수열의 일반항 공식을 이용하여 $a_{2}$ 와 $a_{4}$ 를 $k$ 에 대한 식으로 나타냅니다.

첫째항이 $k$ 이고 공비가 $k$ 이므로, 등비수열의 일반항은 $a_{n} = k \cdot k^{n - 1} = k^{n}$ 입니다.

따라서 $a_{2} = k^{2}$ 이고, $a_{4} = k^{4}$ 입니다.

step2. 주어진 조건식에 대입하여 $k$ 에 대한 방정식을 세우고, $k > 0$ 조건을 이용하여 $k$ 의 값을 구합니다.

주어진 조건식 $a_{2} (k^{2} + 1) = 3 a_{4}$ 에 위에서 구한 식을 대입하면,

$k^{2} (k^{2} + 1) = 3 k^{4}$ 이 됩니다.

식을 전개하면 $k^{4} + k^{2} = 3 k^{4}$ 이고, 우변으로 이항하여 정리하면

$2 k^{4} - k^{2} = 0$ 입니다.

공통인수 $k^{2}$ 으로 묶으면 $k^{2} (2 k^{2} - 1) = 0$ 이 됩니다.

[함정경고] 여기서 $k = 0$ 을 해로 착각하기 쉽습니다. 문제에서 $k$ 는 양수라고 명시되어 있으므로 $k^{2} \neq 0$ 임을 반드시 확인해야 합니다.

$k > 0$ 이므로 $k^{2} > 0$ 입니다. 따라서 양변을 $k^{2}$ 으로 나누면

$2 k^{2} - 1 = 0$ 이 되고, $k^{2} = \frac{1}{2}$ 입니다.

$k > 0$ 이므로 $k = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ 입니다.

step3. 구한 $k$ 의 값을 이용하여 $a_{3}$ 의 값을 계산하고 정답을 도출합니다.

구하고자 하는 값은 $a_{3}$ 입니다.

$a_{3} = k^{3}$ 이므로,

$a_{3} = {(\frac{1}{\sqrt{2}})}^{3} = \frac{1}{2 \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$ 입니다.

따라서 정답은 ③입니다.

[정답] ③

⚡ 실전용 풀이

step1. 일반항 표현

$a_{n} = k \cdot k^{n - 1} = k^{n}$

$a_{2} = k^{2}, a_{4} = k^{4}$

step2. 방정식 풀이

$k^{2} (k^{2} + 1) = 3 k^{4}$ --- (주어진 식에 대입)

$k^{4} + k^{2} = 3 k^{4}$

$2 k^{4} - k^{2} = 0$

$k^{2} (2 k^{2} - 1) = 0$

$k^{2} = \frac{1}{2}$ --- ( $k > 0$ 이므로)

$k = \frac{1}{\sqrt{2}}$

step3. 정답 도출

$a_{3} = k^{3} = {(\frac{1}{\sqrt{2}})}^{3} = \frac{1}{2 \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$

$∴ ③$

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