2025년 5월 학력평가 (고3) 수학 5번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2025년 5월 학력평가 (고3) 수학 5번
문제의 분류	고등학교 (미분법)
난이도	하

🔍 이해용 풀이

문제

함수 $f(x)=(2x+1)(x^2-2x+5)$에 대하여 $f^{\prime }(2)$의 값은? ① 8 ② 12 ③ 16 ④ 20 ⑤ 24

1. 문제의 요지

이 문제는 다항함수의 곱의 미분법을 이용하여 도함수를 구하고, 특정 $x$ 값에서의 미분계수를 계산할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 함수 $f(x)=(2x+1)(x^2-2x+5)$

3. 풀이의 순서

이 문제는 곱의 미분법을 이용하여 도함수를 구한 후 미분계수를 계산하는 방법으로 문제를 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 곱의 미분법을 이용하여 주어진 함수 $f(x)$의 도함수 $f^{\prime }(x)$를 구합니다.

step2. 구한 도함수 $f^{\prime }(x)$에 $x=2$를 대입하여 $f^{\prime }(2)$의 값을 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 곱의 미분법: 두 함수 $g(x)$와 $h(x)$가 미분가능할 때, $(g(x)h(x){)}^{\prime }=g^{\prime }(x)h(x)+g(x)h^{\prime }(x)$가 성립합니다.

5. 구체적 풀이

이 문제는 [키포인트] 곱의 미분법을 정확히 적용하여 도함수를 구하는 것이 핵심입니다.

step1. 곱의 미분법을 이용하여 주어진 함수 $f(x)$의 도함수 $f^{\prime }(x)$를 구합니다.

주어진 함수는 $f(x)=(2x+1)(x^2-2x+5)$입니다.

곱의 미분법 $(g(x)h(x){)}^{\prime }=g^{\prime }(x)h(x)+g(x)h^{\prime }(x)$를 적용하면,

$f^{\prime }(x)=(2x+1{)}^{\prime }(x^2-2x+5)+(2x+1)(x^2-2x+5{)}^{\prime }$

$f^{\prime }(x)=2(x^2-2x+5)+(2x+1)(2x-2)$가 됩니다.

[함정경고] 여기서 식을 전개하여 정리한 후 대입해도 되지만, 전개 과정에서 계산 실수가 발생하기 쉬우므로 전개하지 않고 바로 $x=2$를 대입하는 것이 더 안전하고 빠릅니다.

step2. 구한 도함수 $f^{\prime }(x)$에 $x=2$를 대입하여 $f^{\prime }(2)$의 값을 계산합니다.

$f^{\prime }(2)=2(2^2-2\times 2+5)+(2\times 2+1)(2\times 2-2)$

$f^{\prime }(2)=2(4-4+5)+(4+1)(4-2)$

$f^{\prime }(2)=2(5)+(5)(2)$

$f^{\prime }(2)=10+10=20$

따라서 $f^{\prime }(2)$의 값은 20입니다.

[정답] ④

⚡ 실전용 풀이

step1. 도함수 구하기

$f^{\prime }(x)=2(x^2-2x+5)+(2x+1)(2x-2)$   --- (곱의 미분법 이용)

step2. 미분계수 계산

$f^{\prime }(2)=2(4-4+5)+(4+1)(4-2)$

$=2(5)+5(2)$

$=10+10=20$

$\therefore 정답:④$

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