2025년 5월 학력평가 (고3) 수학 10번

고3 수학/(2026학년도) 2025년 5월 학평 고3 수학 공통과목

2025년 5월 학력평가 (고3) 수학 10번

수학여정 mathjourney 2026. 5. 4. 14:19

수학여정 - 문제 분석 리포트

2025년 5월 학력평가 (고3) 수학 10번
문제의 분류	고등학교 (수열)
난이도	중상

🔍 이해용 풀이

문제

10. 모든 항이 자연수이고 공차가 같은 두 등차수열

{a_{n}}

{b_{n}}

이 모든 자연수

n

에 대하여

\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{a_{k} \times b_{k}} = \frac{n}{8 n + 4}

을 만족시킬 때,

\sum_{k = 1}^{5} (a_{k} + b_{k})

의 값은? [4점] ① 100 ② 110 ③ 120 ④ 130 ⑤ 140

1. 문제의 요지

이 문제는 부분분수를 이용한 급수의 합과 등차수열의 성질을 이용하여 두 수열의 일반항을 구하고, 그 합을 계산할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 모든 항이 자연수
- 공차가 같은 두 등차수열

{a_{n}}

{b_{n}}

- 모든 자연수

n

에 대하여

\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{a_{k} \times b_{k}} = \frac{n}{8 n + 4}

3. 풀이의 순서

이 문제는 수열의 합과 일반항의 관계, 그리고 부분분수를 이용한 급수의 합을 통해 두 등차수열을 추론하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 수열의 합 $S_{n}$ 을 이용하여 $n = 1, 2$ 일 때의 항의 값을 구합니다.

step2. 두 수열의 첫째항과 공차에 대한 방정식을 세우고, 자연수 조건을 이용하여 가능한 경우를 찾습니다.

step3. 부분분수 분해를 통해 급수가 소거되는 형태를 분석하여 올바른 첫째항과 공차를 확정합니다.

step4. 확정된 두 수열의 일반항을 이용하여 구하고자 하는 합을 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 수열의 합과 일반항의 관계: $a_{n} = S_{n} - S_{n - 1} (n \geq 2)$ , $a_{1} = S_{1}$

- 부분분수 분해: $\frac{1}{A B} = \frac{1}{B - A} (\frac{1}{A} - \frac{1}{B})$ (단, $A \neq B$ )

5. 구체적 풀이

[키포인트] 수열의 합이 주어졌을 때, $S_{n} - S_{n - 1}$ 을 이용하여 일반항을 구하고, 분수 형태의 수열의 합은 부분분수 분해를 통해 연쇄적으로 소거되는 형태임을 파악하는 것이 핵심입니다.

step1. 수열의 합 $S_{n}$ 을 이용하여 $n = 1, 2$ 일 때의 항의 값을 구합니다.

주어진 식을 $S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{a_{k} b_{k}} = \frac{n}{8 n + 4}$ 라고 합시다.

$n = 1$ 을 대입하면, $S_{1} = \frac{1}{a_{1} b_{1}} = \frac{1}{8 (1) + 4} = \frac{1}{12}$ 이므로 $a_{1} b_{1} = 12$ 입니다.

$n = 2$ 를 대입하면, $S_{2} = \frac{1}{a_{1} b_{1}} + \frac{1}{a_{2} b_{2}} = \frac{2}{8 (2) + 4} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10}$ 입니다.

수열의 합과 일반항의 관계에 의해, $\frac{1}{a_{2} b_{2}} = S_{2} - S_{1} = \frac{1}{10} - \frac{1}{12} = \frac{6 - 5}{60} = \frac{1}{60}$ 이므로 $a_{2} b_{2} = 60$ 입니다.

step2. 두 수열의 첫째항과 공차에 대한 방정식을 세우고, 자연수 조건을 이용하여 가능한 경우를 찾습니다.

두 등차수열 ${a_{n}}, {b_{n}}$ 의 공차가 같으므로 이를 $d$ 라고 합시다. 모든 항이 자연수이므로 $a_{1}, b_{1}$ 은 자연수이고 $d$ 는 정수입니다.

$a_{1} b_{1} = 12$ 를 만족하는 자연수 순서쌍 $(a_{1}, b_{1})$ 은 $(1, 12), (2, 6), (3, 4)$ 등이 있습니다. (대칭적이므로 $a_{1} < b_{1}$ 로 가정해도 무방합니다.)

$a_{2} b_{2} = (a_{1} + d) (b_{1} + d) = 60$ 입니다.

각 경우에 대해 $d$ 를 구해봅시다.

1) $a_{1} = 1, b_{1} = 12$ 일 때: $(1 + d) (12 + d) = 60 \Rightarrow d^{2} + 13 d - 48 = 0 \Rightarrow (d + 16) (d - 3) = 0$ . 따라서 $d = 3$ 입니다.

2) $a_{1} = 2, b_{1} = 6$ 일 때: $(2 + d) (6 + d) = 60 \Rightarrow d^{2} + 8 d - 48 = 0 \Rightarrow (d + 12) (d - 4) = 0$ . 따라서 $d = 4$ 입니다.

3) $a_{1} = 3, b_{1} = 4$ 일 때: $(3 + d) (4 + d) = 60 \Rightarrow d^{2} + 7 d - 48 = 0$ . 이를 만족하는 정수 $d$ 는 없습니다.

step3. 부분분수 분해를 통해 급수가 소거되는 형태를 분석하여 올바른 첫째항과 공차를 확정합니다.

$\frac{1}{a_{k} b_{k}}$ 의 합이 간단한 분수 형태로 나타나려면 부분분수 분해를 통해 항들이 연쇄적으로 소거되어야 합니다.

$\frac{1}{a_{k} b_{k}} = \frac{1}{b_{k} - a_{k}} (\frac{1}{a_{k}} - \frac{1}{b_{k}})$ 이고, $b_{k} - a_{k} = (b_{1} + (k - 1) d) - (a_{1} + (k - 1) d) = b_{1} - a_{1}$ 로 일정합니다.

이때 연쇄 소거가 일어나려면 $b_{k} = a_{k + 1}$ 과 같은 형태가 되어야 합니다. 즉, $b_{1} = a_{2} = a_{1} + d$ 를 만족해야 합니다.

앞서 구한 두 가지 경우를 확인해봅시다.

1) $a_{1} = 1, b_{1} = 12, d = 3$ 인 경우: $a_{1} + d = 1 + 3 = 4 \neq 12$ 이므로 모순입니다.

2) $a_{1} = 2, b_{1} = 6, d = 4$ 인 경우: $a_{1} + d = 2 + 4 = 6 = b_{1}$ 이므로 성립합니다.

따라서 $a_{1} = 2, d = 4$ 이고 $b_{1} = 6, d = 4$ 로 확정됩니다.

일반항은 $a_{n} = 2 + (n - 1) 4 = 4 n - 2$ , $b_{n} = 6 + (n - 1) 4 = 4 n + 2$ 입니다.

[함정경고] $a_{1} b_{1} = 12$ 와 $a_{2} b_{2} = 60$ 만으로 $d$ 를 구했을 때 여러 경우가 나올 수 있으므로, 반드시 부분분수 분해의 연쇄 소거 조건을 통해 올바른 경우를 걸러내야 합니다.

step4. 확정된 두 수열의 일반항을 이용하여 구하고자 하는 합을 계산합니다.

구하고자 하는 값은 $\sum_{k = 1}^{5} (a_{k} + b_{k})$ 입니다.

$a_{k} + b_{k} = (4 k - 2) + (4 k + 2) = 8 k$ 입니다.

따라서 $\sum_{k = 1}^{5} 8 k = 8 \sum_{k = 1}^{5} k = 8 \times \frac{5 \times 6}{2} = 8 \times 15 = 120$ 입니다.

[정답] ③

⚡ 실전용 풀이

step1. $n = 1, 2$ 대입

$S_{n} = \frac{n}{8 n + 4}$

$S_{1} = \frac{1}{a_{1} b_{1}} = \frac{1}{12} \Rightarrow a_{1} b_{1} = 12$

$S_{2} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10}$

$\frac{1}{a_{2} b_{2}} = S_{2} - S_{1} = \frac{1}{10} - \frac{1}{12} = \frac{1}{60} \Rightarrow a_{2} b_{2} = 60$

step2. 첫째항과 공차 추론

--- 공차를 $d$ 라 하면 $a_{2} b_{2} = (a_{1} + d) (b_{1} + d) = 60$

$a_{1} b_{1} = 12$ 이므로 $(a_{1}, b_{1}) = (2, 6)$ 가정

$(2 + d) (6 + d) = 60 \Rightarrow d^{2} + 8 d - 48 = 0 \Rightarrow (d + 12) (d - 4) = 0$

$d = 4$ --- 자연수 조건

step3. 부분분수 소거 확인

--- $b_{k} - a_{k} = 4$ 로 일정, $b_{1} = a_{1} + d = 6$ 이므로 연쇄 소거 성립

$a_{n} = 4 n - 2, b_{n} = 4 n + 2$

step4. 정답 계산

$a_{k} + b_{k} = 8 k$

$\sum_{k = 1}^{5} 8 k = 8 \times \frac{5 \times 6}{2} = 120$

$∴ 120$

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