(2027학년도) 2026년 6월 모평 고3 수학 8번 풀이 해설 [이해용/실전용]

수학여정 - 문제 분석 리포트

(2027학년도) 2026년 6월 모평 고3 수학 8번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	고등학교 (삼각함수의 활용)
난이도	하

🔍 이해용 풀이

문제

삼각형 $ABC$에서 $\overline{AB}=4,\overline{BC}=8,\cos A=-\frac{1}{4}$ 일 때, 선분 $AC$의 길이는? [3점] ① $\frac{9}{2}$ ② 5 ③ $\frac{11}{2}$ ④ 6 ⑤ $\frac{13}{2}$

1. 문제의 요지

이 문제는 코사인법칙을 이용하여 삼각형의 한 변의 길이를 구할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- $\overline{AB}=4$
- $\overline{BC}=8$
- $\cos A=-\frac{1}{4}$

3. 풀이의 순서

이 문제는 코사인법칙을 이용하여 이차방정식을 세우고 변의 길이를 구하는 방법으로 문제를 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 삼각형의 세 변과 한 각에 대한 코사인법칙 식을 세웁니다.

step2. 주어진 값들을 식에 대입하여 선분 AC의 길이에 대한 이차방정식을 만듭니다.

step3. 이차방정식을 풀고, 변의 길이는 양수라는 조건을 이용하여 최종 길이를 구합니다.

4. 풀이의 도구

- 코사인법칙: 삼각형 $ABC$에서 $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$ 가 성립합니다. (조건: 삼각형의 두 변의 길이와 그 끼인각의 코사인 값을 알 때 나머지 한 변의 길이를 구하거나, 세 변의 길이를 알 때 각의 코사인 값을 구할 수 있음)

5. 구체적 풀이

[키포인트] 삼각형에서 두 변의 길이와 한 각의 코사인 값이 주어졌을 때, 나머지 한 변의 길이를 구하려면 코사인법칙을 떠올려야 합니다.

step1. 삼각형 $ABC$에서 구하고자 하는 선분 $AC$의 길이를 $x$라고 합시다.

코사인법칙에 의하면, ${\overline{BC}}^2={\overline{AC}}^2+{\overline{AB}}^2-2·\overline{AC}·\overline{AB}·\cos A$ 가 성립합니다.

step2. 주어진 조건인 $\overline{AB}=4$, $\overline{BC}=8$, $\cos A=-\frac{1}{4}$을 위 식에 대입합니다.

$8^2=x^2+4^2-2·x·4·(-\frac{1}{4})$

$64=x^2+16+2x$

step3. 식을 정리하여 $x$에 대한 이차방정식을 풉니다.

$x^2+2x-48=0$

$(x+8)(x-6)=0$

[함정경고] 여기서 이차방정식의 해가 두 개 나오지만, 변의 길이는 반드시 양수여야 한다는 점을 놓치기 쉽습니다. $x>0$이어야 하므로 $x=-8$은 버려야 합니다.

따라서 $x=6$이 됩니다.

즉, 선분 $AC$의 길이는 6입니다.

[정답] ④

⚡ 실전용 풀이

step1. 코사인법칙 적용

${\overline{BC}}^2={\overline{AC}}^2+{\overline{AB}}^2-2·\overline{AC}·\overline{AB}·\cos A$

step2. 값 대입

$8^2={\overline{AC}}^2+4^2-2·\overline{AC}·4·(-\frac{1}{4})$

$64={\overline{AC}}^2+16+2\overline{AC}$

step3. 이차방정식 풀이

${\overline{AC}}^2+2\overline{AC}-48=0$

$(\overline{AC}+8)(\overline{AC}-6)=0$

$\overline{AC}>0$ 이므로

$\overline{AC}=6$

$\therefore 정답:6(④)$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

코사인법칙 공식을 정확히 기억하지 못해 식을 세우지 못할 수 있습니다. 식을 세웠더라도 부호 계산(특히 $\cos A$가 음수일 때 $-2bc\cos A$ 부분이 양수가 되는 것)에서 실수하여 잘못된 이차방정식을 도출할 수 있습니다.

🔑 돌파구

삼각형의 세 변과 한 각이 관련된 문제는 항상 코사인법칙 $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$를 먼저 떠올리고 식을 적어봅니다. 대입할 때 괄호를 사용하여 부호 실수를 방지하고, 변의 길이는 항상 양수라는 기본 조건을 마지막에 꼭 확인하세요.

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