(2027학년도) 2026년 6월 모평 고3 수학 9번 풀이 해설 [이해용/실전용]

수학여정 - 문제 분석 리포트

(2027학년도) 2026년 6월 모평 고3 수학 9번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	고등학교 (수학2 - 정적분의 활용)
난이도	중하

🔍 이해용 풀이

문제

9. 시각 $t=0$일 때 동시에 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 두 점 P, Q가 있다. 시각이 $t(t\ge 0)$일 때 두 점 P, Q의 속도가 각각 $v_1(t)=t^2-t$, $v_2(t)=t$ 이다. 출발한 후 시각 $t=k$에서 두 점 P, Q의 위치가 같아질 때, 양수 $k$의 값은? [4점] ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 ⑤ 5

1. 문제의 요지

이 문제는 속도 함수를 정적분하여 위치 함수를 구하고, 두 점의 위치가 같아지는 시각을 찾을 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 시각 $t=0$일 때 두 점 P, Q는 원점 출발
- 점 P의 속도: $v_1(t)=t^2-t$
- 점 Q의 속도: $v_2(t)=t$
- 시각 $t=k$에서 두 점 P, Q의 위치가 같음 ($k>0$)

3. 풀이의 순서

이 문제는 속도 함수를 적분하여 위치 함수를 구한 뒤, 두 위치가 같다는 방정식을 세워 푸는 방법으로 문제를 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 속도 함수를 적분하여 두 점 P, Q의 위치 함수를 구합니다.

step2. 시각 $t=k$에서 두 점의 위치가 같다는 방정식을 세웁니다.

step3. 방정식을 풀어 양수 $k$의 값을 구합니다.

4. 풀이의 도구

- 속도와 위치의 관계: 시각 $t=0$에서의 위치가 $x_0$이고 시각 $t$에서의 속도가 $v(t)$일 때, 시각 $t$에서의 위치 $x(t)$는 $x(t)=x_0+{\int }_0^{t}v(s)ds$ 이다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 속도를 적분하면 위치의 변화량이 나오며, 초기 위치를 더해주면 현재 위치를 알 수 있습니다. 이 문제에서는 두 점 모두 원점에서 출발했으므로 초기 위치는 0입니다.

step1. 속도 함수를 적분하여 두 점 P, Q의 위치 함수를 구합니다.

시각 $t$에서 점 P의 위치를 $x_1(t)$, 점 Q의 위치를 $x_2(t)$라고 합시다.

두 점 모두 $t=0$일 때 원점을 출발하므로 초기 위치는 $x_1(0)=0,x_2(0)=0$입니다.

점 P의 위치 함수는 속도 $v_1(t)=t^2-t$를 적분하여 구합니다.

$x_1(t)=0+{\int }_0^t(s^2-s)ds={[\frac{1}{3}{s}^3-\frac{1}{2}{s}^2]}_0^t=\frac{1}{3}{t}^3-\frac{1}{2}{t}^2$

점 Q의 위치 함수는 속도 $v_2(t)=t$를 적분하여 구합니다.

$x_2(t)=0+{\int }_0^{t}sds={\left[\frac{1}{2}{s}^2\right]}_0^t=\frac{1}{2}{t}^2$

step2. 시각 $t=k$에서 두 점의 위치가 같다는 방정식을 세웁니다.

출발한 후 시각 $t=k$에서 두 점 P, Q의 위치가 같아지므로 $x_1(k)=x_2(k)$가 성립합니다.

$\frac{1}{3}{k}^3-\frac{1}{2}{k}^2=\frac{1}{2}{k}^2$

step3. 방정식을 풀어 양수 $k$의 값을 구합니다.

위의 식을 정리하면 다음과 같습니다.

$\frac{1}{3}{k}^3-\frac{1}{2}{k}^2-\frac{1}{2}{k}^2=0$

$\frac{1}{3}{k}^3-k^2=0$

$k^2(\frac{1}{3}k-1)=0$

[함정경고] 여기서 $k=0$도 해가 되지만, 문제에서 '출발한 후' 위치가 같아지는 '양수' $k$의 값을 구하라고 했으므로 $k=0$은 제외해야 합니다.

따라서 $\frac{1}{3}k-1=0$이 되어야 하므로, $k=3$입니다.

[정답] ③

⚡ 실전용 풀이

step1. 위치 함수 구하기

$x_1(t)={\int }_0^t(s^2-s)ds=\frac{1}{3}{t}^3-\frac{1}{2}{t}^2$

$x_2(t)={\int }_0^{t}sds=\frac{1}{2}{t}^2$

step2. 위치가 같다는 방정식 세우기

$x_1(k)=x_2(k)$   --- (t=k에서 위치가 같으므로)

$\frac{1}{3}{k}^3-\frac{1}{2}{k}^2=\frac{1}{2}{k}^2$

step3. 양수 k 구하기

$\frac{1}{3}{k}^3-k^2=0$

$k^2(\frac{1}{3}k-1)=0$

$k>0$이므로 $k=3$

$\therefore ③$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

속도 함수를 보고 위치 함수를 구하기 위해 적분을 해야 한다는 사실을 떠올리지 못할 수 있습니다. 두 점의 위치가 같다는 조건을 속도가 같다는 조건($v_1(k)=v_2(k)$)으로 착각하여 잘못된 방정식을 세울 수 있습니다.

🔑 돌파구

'위치'에 대한 조건이 주어졌을 때는 반드시 속도 함수를 적분하여 위치 함수 $x(t)=x(0)+{\int }_0^{t}v(s)ds$를 먼저 구해야 합니다. 문제에서 '위치가 같아질 때'라고 명시했으므로, 적분한 결과식인 $x_1(k)=x_2(k)$를 방정식으로 세워야 합니다. 속도와 위치의 개념을 명확히 구분하는 것이 중요합니다.

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