(2027학년도) 2026년 6월 모평 고3 수학 11번 풀이 해설 [이해용/실전용]

수학여정 - 문제 분석 리포트

(2027학년도) 2026년 6월 모평 고3 수학 11번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	고등학교 (함수의 극한)
난이도	중

🔍 이해용 풀이

문제

11. 일차함수 $f(x)$에 대하여 ${lim}_{x\to a}\frac{f(x+2)}{x(f(x)-3)}$ 의 값이 $a=0$일 때 존재하고 $a=3$일 때 존재하지 않는다. $f(4)$의 값은? [4점] ① 6 ② 7 ③ 8 ④ 9 ⑤ 10

1. 문제의 요지

이 문제는 함수의 극한이 존재할 조건과 존재하지 않을 조건을 이용하여 미정계수를 구하고 함수식을 완성하는 것을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 일차함수 $f(x)$
- ${lim}_{x\to a}\frac{f(x+2)}{x(f(x)-3)}$ 의 값이 $a=0$일 때 존재
- $a=3$일 때 존재하지 않음

3. 풀이의 순서

이 문제는 함수의 극한의 성질을 이용하여 일차함수의 식을 결정하는 방법으로 문제를 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. $a=0$일 때 극한이 존재할 조건을 이용하여 $f(2)$의 값을 구합니다.

step2. $a=3$일 때 극한이 존재하지 않을 조건을 이용하여 $f(3)$의 값을 구합니다.

step3. 구한 두 함숫값을 이용하여 일차함수 $f(x)$의 식을 완성합니다.

step4. 완성된 식에 $x=4$를 대입하여 $f(4)$의 값을 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 함수의 극한의 성질: ${lim}_{x\to a}\frac{g(x)}{h(x)}$ 가 존재하고 ${lim}_{x\to a}h(x)=0$ 이면 ${lim}_{x\to a}g(x)=0$ 이다.

- 일차함수의 식: 두 점 $(x_1,y_1),(x_2,y_2)$를 지나는 일차함수의 식은 $y-y_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)$ 이다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 분수 형태의 함수에서 극한값이 존재하고 분모가 0으로 갈 때, 분자도 0으로 가야 한다는 성질을 이용하는 것이 핵심입니다.

step1. $a=0$일 때 극한이 존재할 조건을 이용하여 $f(2)$의 값을 구합니다.

${lim}_{x\to 0}\frac{f(x+2)}{x(f(x)-3)}$ 의 값이 존재합니다.

이때 $x\to 0$ 이면 분모 $x(f(x)-3)\to 0$ 입니다.

극한값이 존재하고 분모가 0으로 수렴하므로, 분자도 0으로 수렴해야 합니다.

따라서 ${lim}_{x\to 0}f(x+2)=f(2)=0$ 입니다.

step2. $a=3$일 때 극한이 존재하지 않을 조건을 이용하여 $f(3)$의 값을 구합니다.

${lim}_{x\to 3}\frac{f(x+2)}{x(f(x)-3)}$ 의 값이 존재하지 않습니다.

만약 $x\to 3$ 일 때 분모가 0이 아니라면, 즉 $3(f(3)-3)\ne 0$ 이라면 극한값은 $\frac{f(5)}{3(f(3)-3)}$ 로 존재하게 됩니다.

따라서 극한값이 존재하지 않으려면 분모가 0으로 수렴해야 합니다.

즉, $f(3)-3=0$ 이므로 $f(3)=3$ 입니다.

[함정경고] 분모가 0이 될 때 분자도 0이 되면 극한값이 존재할 수도 있으므로, $f(3)=3$일 때 분자 $f(5)$가 0이 아닌지 확인하는 과정이 필요합니다. (실제로 $f(5)=9\ne 0$이므로 극한이 존재하지 않음이 확인됩니다.)

step3. 구한 두 함숫값을 이용하여 일차함수 $f(x)$의 식을 완성합니다.

$f(x)$는 일차함수이므로 $f(x)=mx+n$ ($m\ne 0$) 으로 놓을 수 있습니다.

$f(2)=0$ 이므로 $2m+n=0$ $\cdots$ (1)

$f(3)=3$ 이므로 $3m+n=3$ $\cdots$ (2)

(2)에서 (1)을 빼면 $m=3$ 입니다.

$m=3$을 (1)에 대입하면 $6+n=0$ 이므로 $n=-6$ 입니다.

따라서 $f(x)=3x-6$ 입니다.

step4. 완성된 식에 $x=4$를 대입하여 $f(4)$의 값을 계산합니다.

$f(4)=3\times 4-6=12-6=6$ 입니다.

정답은 6이므로 ①번입니다.

[정답] ①

⚡ 실전용 풀이

step1. $f(2)$ 구하기

${lim}_{x\to 0}\frac{f(x+2)}{x(f(x)-3)}$ 존재

$x\to 0$일 때 분모 $\to 0$ 이므로 분자 $\to 0$

$\therefore f(2)=0$

step2. $f(3)$ 구하기

${lim}_{x\to 3}\frac{f(x+2)}{x(f(x)-3)}$ 존재하지 않음

---분모가 0이 아니면 극한값이 존재하므로, 분모 $\to 0$ 이어야 함

$3(f(3)-3)=0$

$\therefore f(3)=3$

step3. $f(x)$ 식 세우기

---$f(x)$는 일차함수이므로 기울기 $m=\frac{3-0}{3-2}=3$

$f(x)=3(x-2)=3x-6$

step4. $f(4)$ 계산

$f(4)=3(4)-6=6$

$\therefore 6$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

- $a=3$일 때 극한이 존재하지 않는다는 조건에서 무엇을 이끌어내야 할지 몰라 막힐 수 있습니다. - 분수 함수의 극한이 존재하지 않으려면 분모가 0으로 가야 한다는 사실을 간과하기 쉽습니다.

🔑 돌파구

- 극한이 존재하지 않는 경우는 주로 분모가 0으로 가고 분자가 0이 아닌 상수로 갈 때 발생함을 떠올려 보세요. - $x\to 3$일 때 분모 $3(f(3)-3)$이 0이 되어야 함을 이용하여 $f(3)=3$이라는 조건을 찾아내면 일차함수의 식을 완성할 수 있습니다.

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