(2027학년도) 2026년 6월 모평 고3 수학 12번 풀이 해설 [이해용/실전용]

고3 수학/(2027학년도) 2026년 6월 모평 고3 수학 공통과목

(2027학년도) 2026년 6월 모평 고3 수학 12번 풀이 해설 [이해용/실전용]

수학여정 mathjourney 2026. 6. 5. 08:36

수학여정 - 문제 분석 리포트

(2027학년도) 2026년 6월 모평 고3 수학 12번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	고등학교 (수학 I - 수열)
난이도	중

🔍 이해용 풀이

문제

공비가 양수인 등비수열

{a_{n}}

이

2 a_{1} (a_{1} + a_{3}) = 5 a_{2} (a_{1} + a_{2}) = 20

을 만족시킬 때,

a_{1} \times a_{6}

의 값은? ①

\frac{1}{27}

②

\frac{1}{9}

③

\frac{1}{3}

④

1

⑤

3

1. 문제의 요지

이 문제는 등비수열의 일반항을 이용하여 주어진 조건을 연립방정식으로 나타내고, 이를 풀어 공비와 첫째항의 제곱을 구할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 등비수열

{a_{n}}

의 공비는 양수
-

2 a_{1} (a_{1} + a_{3}) = 20

5 a_{2} (a_{1} + a_{2}) = 20

3. 풀이의 순서

이 문제는 등비수열의 일반항을 이용하여 주어진 조건을 연립방정식으로 나타내고, 이를 풀어 공비와 첫째항의 제곱을 구하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 등비수열의 첫째항을 $a$ , 공비를 $r$ 로 두고 주어진 두 식을 $a$ 와 $r$ 에 대한 식으로 변환합니다.

step2. 두 식을 나누어 $a^{2}$ 을 소거하고 $r$ 에 대한 이차방정식을 세워 양수인 공비 $r$ 을 구합니다.

step3. 구한 $r$ 을 대입하여 $a^{2}$ 의 값을 구합니다.

step4. 구하고자 하는 $a_{1} \times a_{6}$ 을 $a$ 와 $r$ 로 나타내고, 앞서 구한 값을 대입하여 정답을 도출합니다.

4. 풀이의 도구

- 등비수열의 일반항: 첫째항이 $a$ , 공비가 $r$ 인 등비수열의 제 $n$ 항은 $a_{n} = a r^{n - 1}$ 이다.

5. 구체적 풀이

등비수열 ${a_{n}}$ 의 첫째항을 $a$ , 공비를 $r$ 이라 합시다. 문제에서 공비가 양수라고 했으므로 $r > 0$ 입니다.

[키포인트] 등비수열의 모든 항을 첫째항 $a$ 와 공비 $r$ 로 표현하여 연립방정식을 세우는 것이 핵심입니다.

step1. 주어진 조건을 $a$ 와 $r$ 에 대한 식으로 변환합니다.

$a_{1} = a$ , $a_{2} = a r$ , $a_{3} = a r^{2}$ 이므로,

첫 번째 조건식 $2 a_{1} (a_{1} + a_{3}) = 20$ 에 대입하면,

$2 a (a + a r^{2}) = 20$

양변을 2로 나누고 $a$ 를 묶어내면,

$a^{2} (1 + r^{2}) = 10$ --- (기억)

두 번째 조건식 $5 a_{2} (a_{1} + a_{2}) = 20$ 에 대입하면,

$5 a r (a + a r) = 20$

양변을 5로 나누고 $a$ 를 묶어내면,

$a^{2} r (1 + r) = 4$ --- (니은)

step2. 두 식을 연립하여 공비 $r$ 을 구합니다.

(기억) 식을 (니은) 식으로 나누면 $a^{2}$ 을 소거할 수 있습니다.

$\frac{a^{2} (1 + r^{2})}{a^{2} r (1 + r)} = \frac{10}{4}$

$\frac{1 + r^{2}}{r (1 + r)} = \frac{5}{2}$

대각선으로 곱하여 정리하면,

$2 (1 + r^{2}) = 5 r (1 + r)$

$2 + 2 r^{2} = 5 r + 5 r^{2}$

우변으로 항을 모두 이항하면,

$3 r^{2} + 5 r - 2 = 0$

인수분해하면,

$(3 r - 1) (r + 2) = 0$

따라서 $r = \frac{1}{3}$ 또는 $r = - 2$ 입니다.

문제에서 공비가 양수라고 했으므로 $r = \frac{1}{3}$ 입니다.

[함정경고] 여기서 이차방정식의 해가 두 개 나오는데, 문제의 '공비가 양수'라는 조건을 놓치고 음수 값을 선택하거나 혼동하지 않도록 주의해야 합니다.

step3. 구한 $r$ 을 대입하여 $a^{2}$ 의 값을 구합니다.

$r = \frac{1}{3}$ 을 (기억) 식에 대입하면,

$a^{2} (1 + (\frac{1}{3})^{2}) = 10$

$a^{2} (1 + \frac{1}{9}) = 10$

$a^{2} (\frac{10}{9}) = 10$

양변에 $\frac{9}{10}$ 를 곱하면,

$a^{2} = 9$

step4. 구하고자 하는 $a_{1} \times a_{6}$ 의 값을 계산합니다.

$a_{1} = a$ , $a_{6} = a r^{5}$ 이므로,

$a_{1} \times a_{6} = a \times a r^{5} = a^{2} r^{5}$

앞서 구한 $a^{2} = 9$ 와 $r = \frac{1}{3}$ 을 대입하면,

$a^{2} r^{5} = 9 \times (\frac{1}{3})^{5} = 9 \times \frac{1}{243} = \frac{9}{243} = \frac{1}{27}$

따라서 정답은 $\frac{1}{27}$ 입니다.

[정답] ①

⚡ 실전용 풀이

step1. 조건식 변환

$a_{n} = a r^{n - 1}$ $(r > 0)$

$2 a (a + a r^{2}) = 20 ⟹ a^{2} (1 + r^{2}) = 10$ --- (1)

$5 a r (a + a r) = 20 ⟹ a^{2} r (1 + r) = 4$ --- (2)

step2. 연립하여 r 구하기

(1) / (2) 를 하면

$\frac{1 + r^{2}}{r (1 + r)} = \frac{5}{2}$ --- ( $a^{2}$ 약분)

$2 + 2 r^{2} = 5 r + 5 r^{2}$

$3 r^{2} + 5 r - 2 = 0$

$(3 r - 1) (r + 2) = 0$

$∴ r = \frac{1}{3}$ --- ( $r > 0$ 이므로)

step3. $a^{2}$ 구하기

$r = \frac{1}{3}$ 을 (1)에 대입하면

$a^{2} (1 + \frac{1}{9}) = 10$

$a^{2} \times \frac{10}{9} = 10 ⟹ a^{2} = 9$

step4. 정답 도출

$a_{1} \times a_{6} = a \times a r^{5} = a^{2} r^{5}$

$= 9 \times (\frac{1}{3})^{5} = 9 \times \frac{1}{243} = \frac{1}{27}$

$∴ 정 답 : ①$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

주어진 두 개의 식을 어떻게 연립해야 할지 몰라 막힐 수 있습니다. 특히 $a^{2}$ 과 $r$ 이 섞여 있는 비선형 연립방정식 형태라 덧셈이나 뺄셈으로는 해결이 안 되어 당황하기 쉽습니다. 또한 $a_{1} \times a_{6}$ 을 구하라고 할 때, $a$ 의 값을 정확히 구하려고 하다가 $a = \pm 3$ 에서 부호를 결정하지 못해 막힐 수 있습니다.

🔑 돌파구

등비수열 문제에서 곱으로 이루어진 두 식을 연립할 때는 두 식을 '나누어' 공통인수( $a^{2}$ )를 약분하는 것이 가장 효과적인 접근법입니다. 구하고자 하는 식 $a_{1} \times a_{6}$ 을 먼저 $a$ 와 $r$ 로 표현해 보세요. $a^{2} r^{5}$ 이 되므로, $a$ 의 부호를 몰라도 $a^{2}$ 값만 알면 충분히 답을 낼 수 있습니다. 구해야 할 목표의 형태를 미리 파악하면 불필요한 고민을 줄일 수 있습니다.

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