(2027학년도) 2026년 6월 모평 고3 수학 13번 풀이 해설 [이해용/실전용]

수학여정 - 문제 분석 리포트

(2027학년도) 2026년 6월 모평 고3 수학 13번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	고등학교 (수학 II - 정적분의 활용)
난이도	중상

🔍 이해용 풀이

문제

13. 두 다항함수 $f(x)$와 $g(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x)>g(x)$를 만족시키고, $f(1)=g(1)+1$이다. 양수 $t$에 대하여 두 곡선 $y=f(x)$, $y=g(x)$와 두 직선 $x=0$, $x=t$로 둘러싸인 도형의 넓이를 $S(t)$라 할 때, $S^{\prime }(t)=t^2-2t+a$ 이다. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, $a$는 상수이다.) <보기> ㄱ. $a=1$ ㄴ. $S(3)=6$ ㄷ. 두 곡선 $y=f(x)$, $y=g(x)$와 두 직선 $x=-2$, $x=2$로 둘러싸인 도형의 넓이는 $S(4)$의 값과 같다. ① ㄴ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄴ, ㄷ

1. 문제의 요지

이 문제는 정적분으로 정의된 함수의 미분 성질을 이용하여 피적분함수를 구하고, 정적분을 통해 넓이를 계산할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x)>g(x)$
- $f(1)=g(1)+1$
- $S(t)={\int }_0^t(f(x)-g(x))dx$ ($t>0$)
- $S^{\prime }(t)=t^2-2t+a$

3. 풀이의 순서

이 문제는 정적분으로 정의된 함수의 미분과 넓이의 개념을 이용하여 미지수를 구하고 명제의 참/거짓을 판별하는 방법으로 문제를 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 정적분으로 정의된 함수 $S(t)$를 미분하여 $f(t)-g(t)$의 식을 세우고, 주어진 함숫값 조건을 이용해 상수 $a$를 구하여 보기 ㄱ을 판별합니다.

step2. 구해진 $a$를 바탕으로 $S(t)$를 적분하여 구한 뒤, $t=3$을 대입하여 보기 ㄴ을 판별합니다.

step3. 정적분을 이용하여 구간 $[-2,2]$에서의 넓이를 계산하고, 이를 $S(4)$와 비교하여 보기 ㄷ을 판별합니다.

4. 풀이의 도구

- 정적분으로 정의된 함수의 미분: $\frac{d}{dx}{\int }_a^{x}f(t)dt=f(x)$ (단, $f(t)$는 연속함수, $a$는 상수)

- 두 곡선 사이의 넓이: 두 곡선 $y=f(x)$, $y=g(x)$가 구간 $[a,b]$에서 $f(x)\ge g(x)$일 때, 둘러싸인 도형의 넓이는 ${\int }_a^b(f(x)-g(x))dx$이다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 정적분으로 표현된 넓이 함수 $S(t)$를 미분하면 피적분함수인 $f(t)-g(t)$가 된다는 사실을 파악하는 것이 이 문제의 핵심입니다.

step1. 정적분으로 정의된 함수 $S(t)$를 미분하여 $f(t)-g(t)$의 식을 세우고, 주어진 함숫값 조건을 이용해 상수 $a$를 구하여 보기 ㄱ을 판별합니다.

모든 실수 $x$에 대하여 $f(x)>g(x)$이므로, 양수 $t$에 대하여 두 곡선 $y=f(x)$, $y=g(x)$와 두 직선 $x=0$, $x=t$로 둘러싸인 도형의 넓이 $S(t)$는 다음과 같이 정적분으로 나타낼 수 있습니다.

$S(t)={\int }_0^t(f(x)-g(x))dx$

양변을 $t$에 대하여 미분하면 정적분으로 정의된 함수의 미분 성질에 의해 다음이 성립합니다.

$S^{\prime }(t)=f(t)-g(t)$

문제에서 $S^{\prime }(t)=t^2-2t+a$라고 주어졌으므로,

$f(t)-g(t)=t^2-2t+a$ 입니다.

조건에서 $f(1)=g(1)+1$이므로 $f(1)-g(1)=1$입니다.

위 식에 $t=1$을 대입하면,

$f(1)-g(1)=1^2-2·1+a=a-1$

따라서 $a-1=1$이므로 $a=2$입니다.

그러므로 보기 ㄱ은 거짓입니다.

step2. 구해진 $a$를 바탕으로 $S(t)$를 적분하여 구한 뒤, $t=3$을 대입하여 보기 ㄴ을 판별합니다.

$a=2$이므로 $S^{\prime }(t)=t^2-2t+2$입니다.

$S(t)$는 $S^{\prime }(t)$의 부정적분이므로,

$S(t)=\int (t^2-2t+2)dt=\frac{1}{3}{t}^3-t^2+2t+C$ (단, $C$는 적분상수)

$S(0)={\int }_0^0(f(x)-g(x))dx=0$이므로 $C=0$입니다.

따라서 $S(t)=\frac{1}{3}{t}^3-t^2+2t$입니다.

$t=3$을 대입하면,

$S(3)=\frac{1}{3}(3^3)-3^2+2·3=9-9+6=6$

그러므로 보기 ㄴ은 참입니다.

step3. 정적분을 이용하여 구간 $[-2,2]$에서의 넓이를 계산하고, 이를 $S(4)$와 비교하여 보기 ㄷ을 판별합니다.

두 곡선 $y=f(x)$, $y=g(x)$와 두 직선 $x=-2$, $x=2$로 둘러싸인 도형의 넓이를 $A$라고 하면,

$A={\int }_{-2}^2(f(x)-g(x))dx={\int }_{-2}^2(x^2-2x+2)dx$

[함정경고] 적분 구간이 $[-2,2]$와 같이 대칭일 때, 기함수(홀수 차수) 항은 적분값이 0이 됨을 이용하면 계산 실수를 줄일 수 있습니다. 이를 놓치고 모두 계산하면 시간이 오래 걸리고 틀리기 쉽습니다.

$A=2{\int }_0^2(x^2+2)dx=2{[\frac{1}{3}{x}^3+2x]}_0^2=2(\frac{8}{3}+4)=2\times \frac{20}{3}=\frac{40}{3}$

이제 $S(4)$의 값을 계산해 봅니다.

$S(4)=\frac{1}{3}(4^3)-4^2+2·4=\frac{64}{3}-16+8=\frac{64}{3}-8=\frac{64-24}{3}=\frac{40}{3}$

따라서 $A=S(4)$가 성립합니다.

그러므로 보기 ㄷ은 참입니다.

결론적으로 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이므로 정답은 ⑤입니다.

[정답] ⑤

⚡ 실전용 풀이

step1. a 구하기

$S(t)={\int }_0^t(f(x)-g(x))dx$

$S^{\prime }(t)=f(t)-g(t)=t^2-2t+a$

$f(1)-g(1)=1-2+a=1$   --- (조건 $f(1)=g(1)+1$ 대입)

$\therefore a=2$   --- ㄱ 거짓

step2. S(3) 계산

$S^{\prime }(t)=t^2-2t+2$

$S(t)=\frac{1}{3}{t}^3-t^2+2t$   --- ($S(0)=0$이므로 적분상수 0)

$S(3)=9-9+6=6$   --- ㄴ 참

step3. 구간 [-2, 2] 넓이와 S(4) 비교

${\int }_{-2}^2(x^2-2x+2)dx=2{\int }_0^2(x^2+2)dx$   --- (기함수 소거)

$=2{[\frac{1}{3}{x}^3+2x]}_0^2=2(\frac{8}{3}+4)=\frac{40}{3}$

$S(4)=\frac{64}{3}-16+8=\frac{40}{3}$

$\therefore$ 두 값이 같음   --- ㄷ 참

$\therefore ⑤$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

넓이 함수 $S(t)$를 정적분 식으로 세우고 이를 미분하여 $S^{\prime }(t)=f(t)-g(t)$를 이끌어내는 과정에서 개념 혼동이 올 수 있습니다. 또한 보기 ㄷ에서 구간 $[-2,2]$의 정적분을 계산할 때, 우함수와 기함수의 성질을 활용하지 않으면 계산이 복잡해져 실수가 발생하기 쉽습니다.

🔑 돌파구

$f(x)>g(x)$일 때 넓이 $S(t)={\int }_0^t(f(x)-g(x))dx$임을 명확히 하고, 미적분학의 기본정리를 적용해 양변을 미분하는 접근법을 떠올려야 합니다. 적분 구간이 $[-a,a]$ 형태일 때는 홀수 차수 항을 지우고 짝수 차수 항만 0부터 $a$까지 적분한 뒤 2배 하는 팁을 적극 활용하세요.

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