2025년 5월 학력평가 (고3) 수학 11번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2025년 5월 학력평가 (고3) 수학 11번
문제의 분류	고등학교 (미분 - 속도와 가속도)
난이도	중

🔍 이해용 풀이

문제

수직선 위를 움직이는 점 P의 시각 $t(t\ge 0)$에서의 위치 $x$가 $x=k{t}^3-6t^2+t$ 이다. 양수 $k$에 대하여 시각 $t=k$에서 점 P의 속도가 1일 때, 시각 $t=2k$에서 점 P의 가속도는? [4점] ① 36 ② 48 ③ 60 ④ 72 ⑤ 84

1. 문제의 요지

이 문제는 위치 함수를 미분하여 속도와 가속도 함수를 구하고, 주어진 조건을 만족하는 미지수 $k$의 값을 찾은 뒤 특정 시각에서의 가속도를 계산할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 위치 $x=k{t}^3-6t^2+t$ ($t\ge 0$)
- $k>0$
- $t=k$일 때, 속도 $v=1$

3. 풀이의 순서

이 문제는 위치 함수를 미분하여 속도와 가속도를 구하는 방법으로 문제를 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 위치 함수를 미분하여 속도 함수를 구합니다.

step2. 주어진 속도 조건을 이용하여 양수 $k$의 값을 구합니다.

step3. 속도 함수를 미분하여 가속도 함수를 구하고, $t=2k$에서의 가속도를 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 속도와 가속도: 수직선 위를 움직이는 점의 시각 $t$에서의 위치가 $x=f(t)$일 때, 속도 $v=\frac{dx}{dt}=f^{\prime }(t)$이고, 가속도 $a=\frac{dv}{dt}=f^{″}(t)$이다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 위치 함수를 한 번 미분하면 속도, 두 번 미분하면 가속도가 된다는 사실을 이용하는 것이 핵심입니다.

step1. 위치 함수를 미분하여 속도 함수를 구합니다.

점 P의 시각 $t$에서의 위치 $x$가 $x=k{t}^3-6t^2+t$로 주어졌습니다.

속도 $v$는 위치 $x$를 시각 $t$에 대하여 미분한 것이므로,

$v=\frac{dx}{dt}=3k{t}^2-12t+1$ 입니다.

step2. 주어진 속도 조건을 이용하여 양수 $k$의 값을 구합니다.

시각 $t=k$에서 점 P의 속도가 1이라고 하였으므로, 속도 함수에 $t=k$를 대입하면 그 값이 1이 되어야 합니다.

$v(k)=3k(k{)}^2-12(k)+1=1$

$3k^3-12k+1=1$

양변에서 1을 빼고 정리하면,

$3k^3-12k=0$

$3k(k^2-4)=0$

$3k(k-2)(k+2)=0$

따라서 $k=0$ 또는 $k=2$ 또는 $k=-2$ 입니다.

문제에서 $k$는 양수라고 하였으므로, $k=2$ 입니다.

[함정경고] 방정식 $3k^3-12k=0$을 풀 때, $k$로 양변을 함부로 나누면 $k=0$인 해를 놓칠 수 있습니다. 이 문제에서는 $k>0$ 조건이 있어 결과적으로 영향이 없지만, 항상 인수분해를 통해 모든 해를 구한 뒤 조건에 맞는 해를 선택하는 습관을 가져야 합니다.

step3. 속도 함수를 미분하여 가속도 함수를 구하고, $t=2k$에서의 가속도를 계산합니다.

가속도 $a$는 속도 $v$를 시각 $t$에 대하여 미분한 것이므로,

$a=\frac{dv}{dt}=6kt-12$ 입니다.

앞서 구한 $k=2$를 대입하면 가속도 함수는 다음과 같습니다.

$a=12t-12$

우리가 구해야 하는 것은 시각 $t=2k$에서의 가속도입니다.

$k=2$이므로 $t=2\times 2=4$일 때의 가속도를 구하면 됩니다.

$a(4)=12\times 4-12=48-12=36$

따라서 시각 $t=2k$에서 점 P의 가속도는 36입니다.

[정답] ①

⚡ 실전용 풀이

step1. 속도 함수

$v=\frac{dx}{dt}=3k{t}^2-12t+1$

step2. $k$ 값 구하기

$t=k$일 때 $v=1$이므로

$3k^3-12k+1=1$

$3k(k^2-4)=0$

$k>0$이므로 $k=2$

step3. 가속도 계산

$a=\frac{dv}{dt}=6kt-12$

$k=2$ 대입하면 $a=12t-12$

$t=2k=4$일 때 가속도는

$a(4)=12(4)-12=36$

$\therefore 36$

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