(2027학년도) 2026년 6월 모평 고3 수학 16번 풀이 해설 [이해용/실전용]

수학여정 - 문제 분석 리포트

(2027학년도) 2026년 6월 모평 고3 수학 16번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	고등학교 (지수방정식)
난이도	하

🔍 이해용 풀이

문제

방정식 $3^{x-6}={\left(\frac{1}{9}\right)}^x$을 만족시키는 실수 $x$의 값을 구하시오.

1. 문제의 요지

이 문제는 밑을 같게 만들어 지수방정식을 푸는 방법을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- $3^{x-6}={\left(\frac{1}{9}\right)}^x$

3. 풀이의 순서

이 문제는 밑을 통일하여 지수끼리 비교하는 방법으로 문제를 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 우변의 밑을 좌변과 같은 3으로 변환합니다.

step2. 밑이 같아졌으므로 지수끼리 같다는 방정식을 세웁니다.

step3. 일차방정식을 풀어 실수 $x$의 값을 구합니다.

4. 풀이의 도구

- 지수법칙: $(a^m{)}^n=a^{mn}$, $\frac{1}{a^n}=a^{-n}$

- 지수방정식의 풀이: $a^{f(x)}=a^{g(x)}$ (단, $a>0,a\ne 1$) 이면 $f(x)=g(x)$ 이다.

5. 구체적 풀이

step1. 우변의 밑을 좌변과 같은 3으로 변환합니다.

$\frac{1}{9}=\frac{1}{3^2}=3^{-2}$ 이므로,

우변은 ${\left(\frac{1}{9}\right)}^x=(3^{-2}{)}^x=3^{-2x}$ 가 됩니다.

[키포인트] 지수방정식을 풀 때 가장 먼저 해야 할 일은 양변의 밑을 같게 만들 수 있는지 확인하는 것입니다.

step2. 밑이 같아졌으므로 지수끼리 같다는 방정식을 세웁니다.

주어진 방정식은 $3^{x-6}=3^{-2x}$ 로 정리됩니다.

밑이 3으로 같으므로, 지수끼리 같아야 합니다.

$x-6=-2x$

[함정경고] $\frac{1}{9}$을 $3^{-2}$로 바꿀 때 부호를 빠뜨려 $3^{2x}$로 착각하기 쉬우니 주의해야 합니다.

step3. 일차방정식을 풀어 실수 $x$의 값을 구합니다.

$-2x$를 좌변으로, $-6$을 우변으로 이항하면

$x+2x=6$

$3x=6$

$\therefore x=2$

[정답] 2

⚡ 실전용 풀이

step1. 밑 통일

$3^{x-6}=(3^{-2}{)}^x$

$3^{x-6}=3^{-2x}$

step2. 지수 비교

$x-6=-2x$   --- (밑이 같으므로 지수끼리 비교)

step3. 방정식 풀이

$3x=6$

$\therefore x=2$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

밑이 다르게 주어졌을 때 어떻게 방정식을 풀어야 할지 막막할 수 있습니다. 특히 분수 형태인 $\frac{1}{9}$을 3의 거듭제곱으로 바꾸는 과정에서 지수법칙 적용에 혼동이 올 수 있습니다.

🔑 돌파구

양변의 밑을 소수인 3으로 통일하는 것이 핵심입니다. $\frac{1}{a^n}=a^{-n}$ 공식을 떠올려 $\frac{1}{9}$을 $3^{-2}$로 바꾸면, 지수끼리 비교하는 간단한 일차방정식으로 바뀝니다. 밑을 소인수분해하여 통일하는 연습을 해보세요.

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