(2027학년도) 2026년 6월 모평 고3 수학 21번 풀이 해설 [이해용/실전용]

수학여정 - 문제 분석 리포트

(2027학년도) 2026년 6월 모평 고3 수학 21번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	고등학교 (미분 - 함수의 그래프와 연속성)
난이도	최상

🔍 이해용 풀이

문제

최고차항의 계수가 1인 삼차함수 $f(x)$가 있다. 실수 $t$에 대하여 $f(\alpha )=f^{\prime }(t)-4t^2+4$를 만족시키는 실수 $\alpha$의 최댓값을 $g(t)$라 하자. 함수 $g(t)$가 $t=3$에서만 불연속이고 $g(3)=1$일 때, $f(2)$의 값을 구하시오.

1. 문제의 요지

이 문제는 삼차함수 그래프의 개형과 방정식의 실근의 최댓값이 갖는 불연속성을 이해하고, 합성함수의 연속성 조건을 통해 함수를 추론할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- $f(x)$는 최고차항의 계수가 1인 삼차함수
- $f(\alpha )=f^{\prime }(t)-4t^2+4$를 만족하는 $\alpha$의 최댓값은 $g(t)$
- $g(t)$는 $t=3$에서만 불연속
- $g(3)=1$

3. 풀이의 순서

이 문제는 방정식의 실근의 최댓값 함수의 불연속 조건을 분석하여 삼차함수를 추론하는 방법으로 문제를 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. $f(x)$의 식을 세우고 주어진 방정식의 우변을 $h(t)$로 정의합니다.

step2. $f(\alpha )=k$의 최대 실근이 언제 불연속이 되는지 삼차함수 그래프를 통해 파악합니다.

step3. $g(t)$가 한 점에서만 불연속이 되기 위한 $h(t)$의 조건을 도출합니다.

step4. $h(t)$의 대칭축과 극솟점 조건을 이용하여 $f(x)$의 계수를 구합니다.

step5. 완성된 $f(x)$ 식에 $x=2$를 대입하여 정답을 도출합니다.

4. 풀이의 도구

- 삼차함수의 그래프와 실근: 삼차함수 $y=f(x)$와 상수함수 $y=k$의 교점의 $x$좌표 중 최댓값은 $k$가 $f(x)$의 극솟값일 때 불연속이 됩니다.

- 이차함수의 최댓값: 위로 볼록한 이차함수 $h(t)$가 특정 값 $m$을 한 번만 가지려면, $h(t)$의 최댓값이 $m$이어야 합니다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] $f(\alpha )=k$를 만족하는 가장 큰 실수 $\alpha$는 $k$가 $f(x)$의 극솟값일 때 불연속적으로 변한다는 사실을 파악하는 것이 핵심입니다.

step1. $f(x)$는 최고차항의 계수가 1인 삼차함수이므로 $f(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$로 둡니다.

그러면 $f^{\prime }(x)=3x^2+2ax+b$가 됩니다.

주어진 방정식의 우변을 $h(t)$라 하면,

$h(t)=f^{\prime }(t)-4t^2+4=3t^2+2at+b-4t^2+4=-t^2+2at+b+4$입니다.

$h(t)$는 위로 볼록한 이차함수입니다.

step2. $f(\alpha )=k$를 만족하는 $\alpha$의 최댓값을 $x_{max}(k)$라 합시다.

$f(x)$의 그래프를 위아래로 움직이는 가로선 $y=k$와 비교해보면, $k$가 $f(x)$의 극솟값 $m$보다 작을 때는 교점이 극댓점 왼쪽에만 존재합니다.

하지만 $k$가 극솟값 $m$에 도달하는 순간, 교점은 극솟점의 $x$좌표로 갑자기 점프하게 됩니다.

따라서 $x_{max}(k)$는 $k=m$ (극솟값)에서만 불연속이 됩니다.

step3. 문제에서 $g(t)=x_{max}(h(t))$가 $t=3$에서만 불연속이라고 했습니다.

[함정경고] $h(t)$가 $m$을 두 번 통과하면 $g(t)$는 두 점에서 불연속이 됩니다. 따라서 $h(t)$가 $m$을 한 번만 통과해야 한다는 점을 놓치기 쉽습니다.

$h(t)$는 이차함수이므로, $h(t)=m$이 중근을 가져야만 한 점에서 불연속이 됩니다.

즉, $h(t)$는 $t=3$에서 최댓값 $m$을 가져야 합니다.

step4. $h(t)=-t^2+2at+b+4$의 대칭축은 $t=a$이므로 $a=3$입니다.

$h(3)=-9+18+b+4=b+13=m$이 됩니다.

또한 $g(3)=1$이므로, $h(3)=m$일 때 $\alpha$의 최댓값은 1입니다.

이는 $f(x)$가 $x=1$에서 극솟값 $m$을 갖는다는 것을 의미합니다.

$f^{\prime }(x)=3x^2+6x+b$에서 $f^{\prime }(1)=3+6+b=0$이므로 $b=-9$입니다.

따라서 극솟값 $m=-9+13=4$입니다.

step5. $f(1)=1+3-9+c=4$이므로 $c=9$입니다.

따라서 $f(x)=x^3+3x^2-9x+9$로 완성됩니다.

구하고자 하는 값은 $f(2)$이므로,

$f(2)=8+12-18+9=11$입니다.

[정답] 11

⚡ 실전용 풀이

step1. 함수 세팅

$f(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$

$f^{\prime }(x)=3x^2+2ax+b$

$h(t)=f^{\prime }(t)-4t^2+4=-t^2+2at+b+4$

step2. 불연속 조건 분석

---(f(α)=k의 최대 실근은 k가 극솟값 m일 때만 불연속이므로)

$g(t)$가 $t=3$에서만 불연속 $\Rightarrow h(t)$는 $t=3$에서 최댓값 $m$을 가짐

step3. 계수 비교

$h(t)$의 대칭축 $t=a=3$

$h(3)=-9+18+b+4=b+13=m$

step4. 극솟점 조건 적용

$g(3)=1\Rightarrow x=1$에서 극솟값 $m$을 가짐

$f^{\prime }(1)=3+6+b=0\Rightarrow b=-9$

$m=-9+13=4$

step5. f(x) 완성 및 계산

$f(1)=1+3-9+c=4\Rightarrow c=9$

$f(x)=x^3+3x^2-9x+9$

∴ $f(2)=8+12-18+9=11$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

- $f(\alpha )=k$를 만족하는 $\alpha$의 최댓값 함수가 언제 불연속이 되는지 직관적으로 파악하지 못해 시작부터 막힐 가능성이 높습니다. - $g(t)$가 $t=3$에서만 불연속이라는 조건을 이차함수 $h(t)$의 최댓값 조건으로 연결 짓지 못해 식을 세우지 못할 수 있습니다.

🔑 돌파구

- $y=f(x)$ 그래프를 그리고 가로선 $y=k$를 위아래로 움직이며 가장 오른쪽 교점의 $x$좌표가 어떻게 변하는지 관찰하세요. 극솟값을 지날 때 교점의 위치가 크게 점프함을 확인할 수 있습니다. - 합성함수의 불연속점이 하나뿐이려면 속함수 $h(t)$가 불연속 지점 $m$을 접하듯이 한 번만 지나야 함을 떠올리세요. (팁: 이차함수가 특정 값을 한 번만 가지려면 그 값이 꼭짓점의 $y$좌표여야 합니다.)

MATHJOURNEY · AI 수학 분석

해설을 봐도

강의를 들어도

모를 때

그냥 넘어가지 말고, 포기하지 말고.

아직 수학여정을 만나지 않았다면

포기하기 이를 때

수학 문제 사진 한 장으로 막힌 문제를 해결하세요

그림해설 AI 분석 리포트

🗺️

수학여정

📷 수학여정 바로 시작하기