(2027학년도) 2026년 6월 모평 고3 수학 22번 풀이 해설 [이해용/실전용]

고3 수학/(2027학년도) 2026년 6월 모평 고3 수학 공통과목

(2027학년도) 2026년 6월 모평 고3 수학 22번 풀이 해설 [이해용/실전용]

수학여정 mathjourney 2026. 6. 4. 18:01

수학여정 - 문제 분석 리포트

(2027학년도) 2026년 6월 모평 고3 수학 22번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	고등학교 (수열의 귀납적 정의)
난이도	최상

🔍 이해용 풀이

문제

수열

{a_{n}}

은

a_{1} = 1, a_{3} = 4

이고, 모든 자연수

n

에 대하여

a_{2 n} = a_{n} + 1

a_{4 n + 3} = a_{4 n + 1} = a_{n} + 4

를 만족시킨다.

a_{k} = 10

을 만족시키는 자연수

k

의 개수를 구하시오.

1. 문제의 요지

이 문제는 수열의 점화식을 인덱스에 대한 연산으로 해석하고, 목표값을 만들기 위한 연산의 조합을 경우의 수로 환원하여 풀이할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- a₁ = 1, a₃ = 4
- 모든 자연수 n에 대하여 a_2n = a_n + 1
- 모든 자연수 n에 대하여 a_4n+3 = a_4n+1 = a_n + 4

3. 풀이의 순서

이 문제는 수열의 점화식을 인덱스에 대한 연산으로 해석하고, 목표값을 만들기 위한 연산의 조합을 경우의 수로 환원하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 주어진 점화식을 인덱스 $n$ 에 대한 세 가지 연산으로 해석하고, 모든 자연수 $k$ 가 1 또는 3에서 시작하여 이 연산들의 유일한 조합으로 만들어짐을 파악합니다.

step2. 각 연산이 $a_{n}$ 의 값을 얼마나 증가시키는지 확인하고, $a_{k} = 10$ 이 되기 위해 필요한 값의 증가량을 기저(1 또는 3)에 따라 계산합니다.

step3. 연산 A(+1), B(+4), C(+4)를 조합하여 원하는 증가량을 만드는 경우의 수를 구하는 점화식을 세우고 계산하여 최종 답을 도출합니다.

4. 풀이의 도구

- 경우의 수와 점화식: 특정 값을 만들기 위해 주어진 단위 값들을 조합하는 경우의 수를 구할 때, 마지막에 사용한 단위 값에 따라 경우를 나누어 점화식을 세울 수 있습니다.

5. 구체적 풀이

안녕하세요! 수열의 점화식이 복잡하게 주어져서 당황하셨을 텐데, 아주 좋은 질문입니다. 이 문제는 항을 하나씩 나열해서 규칙을 찾기보다는, 인덱스 $k$ 가 어떻게 만들어지는지 그 '과정'을 추적하는 것이 핵심이에요. 차근차근 함께 풀어볼까요?

[키포인트] 이 문제는 수열의 항을 직접 나열하여 규칙을 찾는 것보다, 인덱스 $k$ 가 만들어지는 과정(역추적)을 연산의 조합으로 해석하는 것이 핵심입니다.

step1. 인덱스 $k$ 의 생성 규칙 분석

주어진 점화식을 보면 $n$ 이 자연수일 때 다음이 성립합니다.

$a_{2 n} = a_{n} + 1$

$a_{4 n + 1} = a_{n} + 4$

$a_{4 n + 3} = a_{n} + 4$

임의의 자연수 $k$ 를 4로 나눈 나머지에 따라 분류해 봅시다.

- $k$ 가 짝수인 경우: $k = 2 n$ ( $n \geq 1$ ) 꼴이므로 첫 번째 식을 적용할 수 있습니다.

- $k$ 가 홀수인 경우: $k = 4 n + 1$ 또는 $k = 4 n + 3$ 꼴입니다.

여기서 $n \geq 1$ 이면 두 번째, 세 번째 식을 적용하여 이전 항으로 돌아갈 수 있습니다.

하지만 $n = 0$ 인 경우, 즉 $k = 1$ 이거나 $k = 3$ 인 경우에는 점화식을 적용할 수 없고, 문제에서 주어진 초기값 $a_{1} = 1, a_{3} = 4$ 를 사용해야 합니다.

[함정경고] 여기서 $n = 0$ 일 때를 무리하게 점화식에 적용하여 $a_{1} = a_{0} + 4$ 등으로 해석하는 실수를 하기 쉽습니다. 문제에서 $n$ 은 '자연수'라고 명시했으므로 $n \geq 1$ 임을 꼭 기억해 주세요!

결국 모든 자연수 $k$ 는 기저인 1 또는 3에서 시작하여, 다음 세 가지 연산을 거쳐 유일하게 만들어진다는 것을 알 수 있습니다.

- 연산 A: $n \to 2 n$ (이때 $a$ 의 값은 1 증가)

- 연산 B: $n \to 4 n + 1$ (이때 $a$ 의 값은 4 증가)

- 연산 C: $n \to 4 n + 3$ (이때 $a$ 의 값은 4 증가)

step2. $a_{k} = 10$ 이 되기 위한 조건

우리의 목표는 $a_{k} = 10$ 이 되는 $k$ 의 개수를 찾는 것입니다.

- 시작점이 $k = 1$ 인 경우: 초기값이 $a_{1} = 1$ 이므로, 연산들을 통해 값이 총 9 증가해야 10이 됩니다.

- 시작점이 $k = 3$ 인 경우: 초기값이 $a_{3} = 4$ 이므로, 연산들을 통해 값이 총 6 증가해야 10이 됩니다.

step3. 경우의 수 계산 및 정답 도출

연산 A는 값을 1 증가시키고, 연산 B와 C는 값을 4 증가시킵니다.

값이 $N$ 증가하도록 연산 A, B, C를 나열하는 경우의 수를 $d_{N}$ 이라고 해볼게요.

마지막에 적용한 연산이 A라면 그 전까지의 증가량은 $N - 1$ 이고, 마지막 연산이 B나 C라면 그 전까지의 증가량은 $N - 4$ 가 됩니다.

따라서 다음과 같은 점화식을 세울 수 있습니다.

$d_{N} = d_{N - 1} + 2 d_{N - 4}$ ( $N \geq 4$ )

초기값을 구해볼까요?

$d_{0} = 1$ (아무 연산도 하지 않는 1가지)

$d_{1} = 1$ (A)

$d_{2} = 1$ (AA)

$d_{3} = 1$ (AAA)

이제 점화식을 이용해 차례대로 계산해 봅시다.

$d_{4} = d_{3} + 2 d_{0} = 1 + 2 \times 1 = 3$

$d_{5} = d_{4} + 2 d_{1} = 3 + 2 \times 1 = 5$

$d_{6} = d_{5} + 2 d_{2} = 5 + 2 \times 1 = 7$

$d_{7} = d_{6} + 2 d_{3} = 7 + 2 \times 1 = 9$

$d_{8} = d_{7} + 2 d_{4} = 9 + 2 \times 3 = 15$

$d_{9} = d_{8} + 2 d_{5} = 15 + 2 \times 5 = 25$

우리가 구해야 하는 것은 $k = 1$ 에서 시작하여 9 증가하는 경우의 수( $d_{9}$ )와 $k = 3$ 에서 시작하여 6 증가하는 경우의 수( $d_{6}$ )의 합입니다.

따라서 $d_{9} + d_{6} = 25 + 7 = 32$ 가 됩니다.

정답은 32입니다. 발상의 전환이 필요한 멋진 문제였어요. 잘 이해가 되셨기를 바랍니다!

[정답] 32

⚡ 실전용 풀이

step1. 인덱스 생성 규칙 분석

임의의 자연수 $k$ 는 1 또는 3에서 시작하여 다음 세 연산의 조합으로 유일하게 만들어짐.

- 연산 A: $n \to 2 n$ --- $a_{n}$ 값 +1

- 연산 B: $n \to 4 n + 1$ --- $a_{n}$ 값 +4

- 연산 C: $n \to 4 n + 3$ --- $a_{n}$ 값 +4

---(모든 자연수는 짝수, $4 m + 1$ , $4 m + 3$ 중 하나이며 $n \geq 1$ 조건에 의해 기저는 1과 3이 됨)

step2. 목표 증가량 확인

$a_{k} = 10$ 이 되려면:

- $k = 1$ 에서 시작 ( $a_{1} = 1$ ): 값 9 증가 필요

- $k = 3$ 에서 시작 ( $a_{3} = 4$ ): 값 6 증가 필요

step3. 경우의 수 계산

값이 $N$ 증가하는 경우의 수를 $d_{N}$ 이라 하면,

$d_{N} = d_{N - 1} + 2 d_{N - 4}$ --- $N \geq 4$

$d_{0} = d_{1} = d_{2} = d_{3} = 1$

$d_{4} = 1 + 2 (1) = 3$

$d_{5} = 3 + 2 (1) = 5$

$d_{6} = 5 + 2 (1) = 7$

$d_{7} = 7 + 2 (1) = 9$

$d_{8} = 9 + 2 (3) = 15$

$d_{9} = 15 + 2 (5) = 25$

$∴ 정 답$

$d_{9} + d_{6} = 25 + 7 = 32$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

수열의 항을 일일이 나열하다가 규칙을 찾지 못하고 계산량이 많아져 포기하기 쉽습니다. 또한 $a_{4 n + 3} = a_{4 n + 1} = a_{n} + 4$ 조건에서 $n = 0$ 일 때를 고려하지 못하거나, 반대로 $n = 0$ 을 무리하게 적용하여 $a_{1}$ 과 $a_{3}$ 의 관계를 억지로 만들려다 모순에 빠질 수 있습니다.

🔑 돌파구

인덱스 $k$ 가 짝수인지, $4 m + 1$ 꼴인지, $4 m + 3$ 꼴인지에 따라 이전 항으로 돌아가는 '역추적' 과정을 연산으로 정의해 보세요. 각 연산이 $a_{k}$ 의 값을 얼마나 증가시키는지 파악하고, 목표값(10)을 만들기 위해 필요한 증가량을 조합의 문제로 치환하여 해결할 수 있습니다. 복잡한 점화식은 인덱스의 생성 과정으로 시각을 돌려보세요.

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