2025년 5월 학력평가 (고3) 수학 12번

고3 수학/(2026학년도) 2025년 5월 학평 고3 수학 공통과목

2025년 5월 학력평가 (고3) 수학 12번

수학여정 mathjourney 2026. 5. 4. 14:05

수학여정 - 문제 분석 리포트

2025년 5월 학력평가 (고3) 수학 12번
문제의 분류	고등학교 (로그함수와 그래프)
난이도	중상

🔍 이해용 풀이

문제

12. 그림과 같이 세 상수

a (a > 1)

k

t

에 대하여 두 곡선

y = \log_{a} x

y = - 2 \log_{a} x + k

가 만나는 점을 A라 하고, 직선

x = t

가 두 곡선

y = \log_{a} x

y = - 2 \log_{a} x + k

와 만나는 점을 각각 B, C라 하자. 직선 AB가 원점 O를 지나고 두 삼각형 OCA, ACB의 넓이가 2로 같을 때,

a \times k \times t

의 값은? (단,

k > 0

이고,

t

는 점 A의

x

좌표보다 크다.) [4점] ①

8 \sqrt{2}

② 16 ③

16 \sqrt{2}

④ 24 ⑤

24 \sqrt{2}

1. 문제의 요지

이 문제는 로그함수의 그래프의 교점과 직선의 방정식, 그리고 삼각형의 넓이 조건을 이용하여 미지수 $a, k, t$ 의 값을 구하는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 곡선 1:

y = \log_{a} x

(

a > 1

)
- 곡선 2:

y = - 2 \log_{a} x + k

(

k > 0

)
- 점 A: 두 곡선의 교점
- 직선

x = t

: 두 곡선과 만나는 점을 각각 B, C라 함 (

t > x_{A}

)
- 직선 AB: 원점 O(0,0)를 지남
- 삼각형 OCA의 넓이 = 삼각형 ACB의 넓이 = 2

3. 풀이의 순서

이 문제는 그래프 위의 점의 좌표를 미지수로 설정하고, 주어진 기하학적 조건(일직선, 삼각형의 넓이)을 수식으로 변환하여 푸는 방법으로 접근합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 두 곡선의 교점 A의 좌표를 $x_{A}$ 를 이용하여 나타냅니다.

step2. 점 B와 C의 좌표를 $t$ 를 이용하여 나타냅니다.

step3. 두 삼각형의 넓이 조건을 이용하여 $t$ 와 $x_{A}$ 의 관계를 구합니다.

step4. 세 점 O, A, B가 일직선 위에 있다는 조건을 이용하여 $k$ 와 $x_{A}$ 의 관계를 구합니다.

step5. 삼각형의 넓이 식에 구한 값들을 대입하여 $k$ 의 값을 구하고, 이어서 $a$ 와 $t$ 의 값을 구하여 최종 답을 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 로그함수의 교점: 두 함수 $y = f (x)$ 와 $y = g (x)$ 의 교점의 $x$ 좌표는 방정식 $f (x) = g (x)$ 의 해와 같습니다.

- 세 점이 일직선 위에 있을 조건: 세 점 $(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}), (x_{3}, y_{3})$ 이 일직선 위에 있으면, 두 점씩 짝지어 구한 기울기가 모두 같습니다. 즉, $\frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} = \frac{y_{3} - y_{1}}{x_{3} - x_{1}}$ 입니다.

- 삼각형의 넓이: 좌표평면에서 선분 $B C$ 가 $y$ 축과 평행할 때, 점 $A$ 와 선분 $B C$ 로 이루어진 삼각형의 넓이는 $\frac{1}{2} \times B C \times | x_{A} - x_{B} |$ 입니다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 점의 좌표를 미지수로 설정하고, '원점을 지나는 일직선' 조건은 기울기가 같음으로, '삼각형의 넓이' 조건은 밑변과 높이의 관계로 해석하는 것이 핵심입니다.

step1. 교점 A의 좌표 설정

점 A는 두 곡선 $y = \log_{a} x$ 와 $y = - 2 \log_{a} x + k$ 의 교점이므로, 점 A의 $x$ 좌표를 $x_{A}$ 라 하면

$\log_{a} x_{A} = - 2 \log_{a} x_{A} + k$

$3 \log_{a} x_{A} = k$

$\log_{a} x_{A} = \frac{k}{3}$

따라서 점 A의 좌표는 $A (x_{A}, \frac{k}{3})$ 입니다.

step2. 점 B, C의 좌표 설정

직선 $x = t$ 가 두 곡선과 만나는 점이 B, C이므로

$B (t, \log_{a} t)$

$C (t, - 2 \log_{a} t + k)$

입니다.

step3. 삼각형의 넓이 조건을 이용한 $t$ 와 $x_{A}$ 의 관계 도출

[함정경고] 삼각형 OCA의 넓이를 구할 때 복잡한 사선 공식을 쓰기보다는, 전체 삼각형 OCB에서 삼각형 ACB를 빼는 방식으로 접근하면 계산이 훨씬 간단해집니다.

선분 BC는 $y$ 축에 평행하므로, 이를 밑변으로 생각할 수 있습니다.

$△ A C B$ 의 넓이는 밑변이 $B C$ , 높이가 $(t - x_{A})$ 이므로

$△ A C B = \frac{1}{2} \times B C \times (t - x_{A}) = 2$ 입니다.

한편, $△ O C B$ 의 넓이는 밑변이 $B C$ , 높이가 $t$ 이므로

$△ O C B = \frac{1}{2} \times B C \times t$ 입니다.

그림에서 $△ O C B = △ O C A + △ A C B$ 이고, $△ O C A = 2$ , $△ A C B = 2$ 이므로

$△ O C B = 2 + 2 = 4$ 입니다.

따라서 $\frac{1}{2} \times B C \times t = 4$ 입니다.

두 넓이 식을 나누면:

$\frac{\frac{1}{2} \times B C \times t}{\frac{1}{2} \times B C \times (t - x_{A})} = \frac{4}{2}$

$\frac{t}{t - x_{A}} = 2$

$t = 2 (t - x_{A})$

$t = 2 t - 2 x_{A}$

$∴ t = 2 x_{A}$

step4. 일직선 조건을 이용한 $k$ 와 $x_{A}$ 의 관계 도출

직선 AB가 원점 O를 지나므로, 세 점 O(0,0), A $(x_{A}, \frac{k}{3})$ , B $(t, \log_{a} t)$ 는 일직선 위에 있습니다.

따라서 직선 OA의 기울기와 직선 OB의 기울기가 같습니다.

$\frac{\frac{k}{3}}{x_{A}} = \frac{\log_{a} t}{t}$

앞서 구한 $t = 2 x_{A}$ 를 대입하면:

$\frac{k}{3 x_{A}} = \frac{\log_{a} (2 x_{A})}{2 x_{A}}$

양변에 $x_{A}$ 를 곱하면 ( $x_{A} > 0$ ):

$\frac{k}{3} = \frac{\log_{a} 2 + \log_{a} x_{A}}{2}$

step1. 에서 $\log_{a} x_{A} = \frac{k}{3}$ 이었으므로 대입하면:

$\frac{k}{3} = \frac{\log_{a} 2 + \frac{k}{3}}{2}$

$\frac{2 k}{3} = \log_{a} 2 + \frac{k}{3}$

$\frac{k}{3} = \log_{a} 2$

$∴ k = 3 \log_{a} 2 = \log_{a} 8$

이로부터 $\log_{a} x_{A} = \log_{a} 2$ 이므로 $x_{A} = 2$ 임을 알 수 있습니다.

따라서 $t = 2 x_{A} = 4$ 입니다.

step5. $k, a$ 값 계산 및 최종 정답 도출

이제 선분 BC의 길이를 $k$ 로 나타내어 봅시다.

$t = 4$ 일 때, 점 B의 $y$ 좌표는 $\log_{a} 4 = 2 \log_{a} 2 = 2 \times \frac{k}{3} = \frac{2 k}{3}$ 입니다.

점 C의 $y$ 좌표는 $- 2 \log_{a} 4 + k = - 4 \log_{a} 2 + k = - 4 \times \frac{k}{3} + k = - \frac{4 k}{3} + \frac{3 k}{3} = - \frac{k}{3}$ 입니다.

따라서 선분 BC의 길이는 $B C = \frac{2 k}{3} - (- \frac{k}{3}) = k$ 입니다.

step3. 에서 $△ O C B = \frac{1}{2} \times B C \times t = 4$ 이었으므로,

$\frac{1}{2} \times k \times 4 = 4$

$2 k = 4 ⟹ k = 2$ 입니다.

$k = 3 \log_{a} 2$ 에 $k = 2$ 를 대입하면:

$2 = 3 \log_{a} 2 ⟹ \log_{a} 2 = \frac{2}{3}$

$a^{\frac{2}{3}} = 2 ⟹ a = 2^{\frac{3}{2}} = 2 \sqrt{2}$ 입니다.

최종적으로 구하고자 하는 값은

$a \times k \times t = 2 \sqrt{2} \times 2 \times 4 = 16 \sqrt{2}$ 입니다.

[정답] ③

⚡ 실전용 풀이

step1. 교점 A의 좌표 설정

$\log_{a} x_{A} = - 2 \log_{a} x_{A} + k$

$3 \log_{a} x_{A} = k ⟹ \log_{a} x_{A} = \frac{k}{3}$

$A (x_{A}, \frac{k}{3})$

step2. 점 B, C의 좌표 설정

$B (t, \log_{a} t), C (t, - 2 \log_{a} t + k)$

step3. 삼각형의 넓이 조건을 이용한 $t$ 와 $x_{A}$ 의 관계 도출

$△ A C B = \frac{1}{2} \cdot B C \cdot (t - x_{A}) = 2$

$△ O C B = △ O C A + △ A C B = 2 + 2 = 4$

$△ O C B = \frac{1}{2} \cdot B C \cdot t = 4$

$\frac{t}{t - x_{A}} = 2 ⟹ t = 2 t - 2 x_{A} ⟹ t = 2 x_{A}$

step4. 일직선 조건을 이용한 $k$ 와 $x_{A}$ 의 관계 도출

$\frac{k / 3}{x_{A}} = \frac{\log_{a} t}{t} = \frac{\log_{a} (2 x_{A})}{2 x_{A}}$ --- (O, A, B 일직선)

$\frac{2 k}{3} = \log_{a} 2 + \log_{a} x_{A} = \log_{a} 2 + \frac{k}{3}$

$\frac{k}{3} = \log_{a} 2 ⟹ k = 3 \log_{a} 2$

$\log_{a} x_{A} = \log_{a} 2 ⟹ x_{A} = 2, t = 4$

step5. $k, a$ 값 계산 및 최종 정답 도출

$y_{B} = \log_{a} 4 = 2 \log_{a} 2 = \frac{2 k}{3}$

$y_{C} = - 2 \log_{a} 4 + k = - \frac{4 k}{3} + k = - \frac{k}{3}$

$B C = \frac{2 k}{3} - (- \frac{k}{3}) = k$

$\frac{1}{2} \cdot k \cdot 4 = 4 ⟹ k = 2$

$2 = 3 \log_{a} 2 ⟹ \log_{a} 2 = \frac{2}{3} ⟹ a = 2^{3 / 2} = 2 \sqrt{2}$

$∴ a \times k \times t = 2 \sqrt{2} \times 2 \times 4 = 16 \sqrt{2}$

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