2025년 5월 학력평가 (고3) 수학 13번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2025년 5월 학력평가 (고3) 수학 13번
문제의 분류	고등학교 (정적분과 넓이)
난이도	상

🔍 이해용 풀이

문제

최고차항의 계수가 1인 이차함수 $f(x)$에 대하여 곡선 $y=f(x)$와 직선 $y=x-3$이 $x$좌표가 양수인 두 점 A, B에서 만난다. 직선 $y=x-3$과 $y$축이 만나는 점을 C라 하자. 곡선 $y=f(x)$와 $y$축 및 선분 AC로 둘러싸인 부분의 넓이를 $S_1$, 곡선 $y=f(x)$와 선분 AB로 둘러싸인 부분의 넓이를 $S_2$라 하자. 곡선 $y=f(x)$와 선분 AB로 둘러싸인 부분을 직선 $x=3$이 이등분하고, $S_2-2S_1=6$일 때, $f(-1)$의 값은? (단, 점 A의 $x$좌표는 3보다 작고, 점 B의 $x$좌표는 3보다 크다.) ① $\frac{15}{2}$ ② $8$ ③ $\frac{17}{2}$ ④ $9$ ⑤ $\frac{19}{2}$

1. 문제의 요지

이 문제는 이차함수와 직선으로 둘러싸인 넓이의 성질을 이해하고, 정적분을 이용하여 복잡한 넓이 관계식을 간단한 정적분 값으로 변환할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- $f(x)$는 최고차항의 계수가 1인 이차함수
- 곡선 $y=f(x)$와 직선 $y=x-3$의 교점 A, B의 $x$좌표는 양수 ($x_A<3<x_B$)
- $S_1$: 곡선 $y=f(x)$, $y$축, 선분 AC로 둘러싸인 넓이
- $S_2$: 곡선 $y=f(x)$, 선분 AB로 둘러싸인 넓이
- 직선 $x=3$이 $S_2$를 이등분
- $S_2-2S_1=6$

3. 풀이의 순서

이 문제는 두 함수의 차이를 새로운 함수로 정의하고, 정적분의 성질을 이용하여 넓이 관계식을 간단히 하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 두 함수의 차이 함수 $h(x)$를 정의하고, $S_2$를 이등분하는 조건을 이용하여 대칭축을 찾습니다.

step2. 정적분의 구간을 나누어 ${\int }_0^{3}h(x)dx$와 $S_1,S_2$의 관계를 파악합니다.

step3. 주어진 넓이 관계식을 이용하여 미지수를 구하고 $f(x)$를 완성한 후, $f(-1)$의 값을 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 정적분과 넓이의 관계: 곡선과 직선 사이의 넓이는 두 함수의 차이를 정적분하여 구합니다.

- 이차함수의 대칭성: 이차함수와 직선으로 둘러싸인 넓이를 이등분하는 $y$축에 평행한 직선은 이차함수와 직선의 차이 함수의 대칭축과 일치합니다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] $S_1$과 $S_2$를 각각 계산하여 연립하는 대신, ${\int }_0^3(f(x)-(x-3))dx$를 계산하면 식이 훨씬 간단해집니다.

step1. 두 함수의 차이 함수 $h(x)=f(x)-(x-3)$이라 합시다. $f(x)$가 최고차항 계수가 1인 이차함수이므로, $h(x)$도 최고차항 계수가 1인 이차함수입니다.

두 점 A, B의 $x$좌표를 각각 $\alpha ,\beta$ ($0<\alpha <\beta$)라 하면, $h(x)=(x-\alpha )(x-\beta )$가 됩니다.

$S_2$는 곡선 $y=f(x)$와 직선 $y=x-3$으로 둘러싸인 넓이이므로, $S_2={\int }_{\alpha }^{\beta }-h(x)dx$입니다.

직선 $x=3$이 $S_2$를 이등분하므로, 이차함수 $-h(x)$의 대칭축은 $x=3$이 되어야 합니다.

따라서 두 근의 중점이 3이므로 $\frac{\alpha +\beta }{2}=3$, 즉 $\alpha +\beta =6$입니다.

이를 통해 $h(x)=x^2-6x+\alpha \beta$임을 알 수 있습니다.

step2. 이제 정적분 ${\int }_0^{3}h(x)dx$를 두 구간으로 나누어 생각해 봅시다.

구간 $[0,\alpha ]$에서는 $f(x)>x-3$이므로, $S_1={\int }_0^{\alpha }h(x)dx$입니다.

구간 $[\alpha ,3]$에서는 $x-3>f(x)$이고, 이 구간의 넓이는 $S_2$의 절반이므로 $\frac{1}{2}{S}_2={\int }_{\alpha }^3-h(x)dx$입니다.

따라서 ${\int }_{\alpha }^{3}h(x)dx=-\frac{1}{2}{S}_2$가 됩니다.

정적분의 성질에 의해,

${\int }_0^{3}h(x)dx={\int }_0^{\alpha }h(x)dx+{\int }_{\alpha }^{3}h(x)dx=S_1-\frac{1}{2}{S}_2$입니다.

[함정경고] 구간 $[\alpha ,3]$에서 $h(x)$의 부호가 음수이므로, 정적분 값은 넓이의 부호를 바꾼 $-\frac{1}{2}{S}_2$가 됨을 놓치기 쉽습니다.

step3. 문제에서 주어진 조건 $S_2-2S_1=6$의 양변을 -2로 나누면, $S_1-\frac{1}{2}{S}_2=-3$이 됩니다.

따라서 ${\int }_0^{3}h(x)dx=-3$임을 알 수 있습니다.

이제 정적분을 직접 계산해 봅시다.

${\int }_0^3(x^2-6x+\alpha \beta )dx={[\frac{1}{3}{x}^3-3x^2+\alpha \beta x]}_0^3=9-27+3\alpha \beta =3\alpha \beta -18$

이 값이 -3이므로, $3\alpha \beta -18=-3$에서 $3\alpha \beta =15$, 즉 $\alpha \beta =5$입니다.

따라서 $h(x)=x^2-6x+5$가 되고,

$f(x)=h(x)+(x-3)=(x^2-6x+5)+(x-3)=x^2-5x+2$입니다.

최종적으로 구하는 값은 $f(-1)=(-1{)}^2-5(-1)+2=1+5+2=8$입니다.

[정답] ②

⚡ 실전용 풀이

step1. 교점 설정 및 대칭축

$h(x)=f(x)-(x-3)=(x-\alpha )(x-\beta )$

$\frac{\alpha +\beta }{2}=3⟹\alpha +\beta =6$   --- ($x=3$이 $S_2$ 이등분)

$h(x)=x^2-6x+\alpha \beta$

step2. 정적분과 넓이의 관계

${\int }_0^{3}h(x)dx={\int }_0^{\alpha }h(x)dx+{\int }_{\alpha }^{3}h(x)dx$

$=S_1-\frac{1}{2}{S}_2$   --- (구간별 넓이 부호 고려)

$S_2-2S_1=6⟹S_1-\frac{1}{2}{S}_2=-3$

$\therefore {\int }_0^{3}h(x)dx=-3$

step3. $\alpha \beta$ 계산 및 $f(-1)$ 도출

${\int }_0^3(x^2-6x+\alpha \beta )dx={[\frac{1}{3}{x}^3-3x^2+\alpha \beta x]}_0^3=3\alpha \beta -18$

$3\alpha \beta -18=-3⟹\alpha \beta =5$

$f(x)=(x^2-6x+5)+(x-3)=x^2-5x+2$

$f(-1)=1+5+2=8$

$\therefore 8$

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