2025년 5월 학력평가 (고3) 수학 14번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2025년 5월 학력평가 (고3) 수학 14번
문제의 분류	고등학교 (사인법칙과 코사인법칙)
난이도	상

🔍 이해용 풀이

문제

그림과 같이 반지름의 길이가 각각 $r_1,r_2$인 두 원 $C_1,C_2$가 만나는 두 점을 A, B라 하자. 원 $C_1$ 위의 점 C와 원 $C_2$ 위의 두 점 D, E에 대하여 세 점 C, A, D와 세 점 C, B, E가 각각 한 직선 위에 있다. $r_1:r_2=1:2,\overline{AC}=3,\overline{AD}=5,\overline{DE}=4$ 일 때, 선분 CE의 길이는? [4점] ① $3\sqrt{7}$ ② $\sqrt{66}$ ③ $\sqrt{69}$ ④ $6\sqrt{2}$ ⑤ $5\sqrt{3}$

1. 문제의 요지

이 문제는 원주각의 성질과 사인법칙, 코사인법칙을 이용하여 삼각형의 변의 길이를 구하는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 두 원 $C_1,C_2$의 반지름 길이 비: $r_1:r_2=1:2$
- 두 원의 교점: A, B
- 점 C는 원 $C_1$ 위의 점
- 점 D, E는 원 $C_2$ 위의 점
- 세 점 C, A, D는 한 직선 위에 있음
- 세 점 C, B, E는 한 직선 위에 있음
- $\overline{AC}=3$
- $\overline{AD}=5$
- $\overline{DE}=4$

3. 풀이의 순서

이 문제는 원 내접 사각형의 성질로 각의 관계를 찾고, 사인법칙과 코사인법칙을 연이어 적용하여 변의 길이를 구하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 사각형 ABED가 원 $C_2$에 내접함을 이용하여 $\angle CBA$와 $\angle ADE$가 같음을 확인합니다.

step2. $△CAB$와 $△ADE$에 각각 사인법칙을 적용하여 $\overline{AE}$의 길이를 구합니다.

step3. $△ADE$에서 코사인법칙을 이용하여 $\cos (\angle ADE)$의 값을 구합니다.

step4. $△CDE$에서 코사인법칙을 이용하여 최종적으로 $\overline{CE}$의 길이를 구합니다.

4. 풀이의 도구

- 원에 내접하는 사각형의 성질: 원에 내접하는 사각형의 한 외각의 크기는 그와 이웃하는 내각의 대각(내대각)의 크기와 같다.

- 사인법칙: 삼각형 ABC의 외접원의 반지름을 $R$이라 할 때, $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$ 이 성립한다.

- 코사인법칙: 삼각형 ABC에서 $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$ 가 성립한다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 이 문제의 핵심은 두 원의 교점 A, B를 지나는 직선들이 만드는 각의 관계를 파악하고, 두 원의 반지름 비를 사인법칙에 적용하여 숨겨진 변의 길이를 찾아내는 것입니다.

step1. 각의 관계 파악하기

점 A, B, E, D는 모두 원 $C_2$ 위의 점이므로 사각형 ABED는 원 $C_2$에 내접합니다.

세 점 C, B, E가 한 직선 위에 있으므로 $\angle CBA$는 사각형 ABED의 한 외각입니다.

원에 내접하는 사각형의 성질에 의해, 한 외각의 크기는 그 내대각의 크기와 같으므로 다음이 성립합니다.

$\angle CBA=\angle ADE$

step2. 사인법칙을 이용하여 $\overline{AE}$ 길이 구하기

$△CAB$는 원 $C_1$에 내접하므로 사인법칙을 적용하면,

$\frac{\overline{CA}}{\sin (\angle CBA)}=2r_1$ $\cdots$ (1)

$△ADE$는 원 $C_2$에 내접하므로 사인법칙을 적용하면,

$\frac{\overline{AE}}{\sin (\angle ADE)}=2r_2$ $\cdots$ (2)

step1. 에서 $\angle CBA=\angle ADE$ 임을 확인했으므로, $\sin (\angle CBA)=\sin (\angle ADE)$ 입니다.

식 (1)에서 $\sin (\angle CBA)=\frac{\overline{CA}}{2r_1}$ 이고, 식 (2)에서 $\sin (\angle ADE)=\frac{\overline{AE}}{2r_2}$ 이므로,

$\frac{\overline{CA}}{2r_1}=\frac{\overline{AE}}{2r_2}$ 가 성립합니다.

문제에서 $r_1:r_2=1:2$ 이므로 $r_2=2r_1$ 입니다.

이를 대입하면 $\frac{\overline{CA}}{2r_1}=\frac{\overline{AE}}{4r_1}$ 이 되고, 양변에 $4r_1$을 곱하면 $\overline{AE}=2\overline{CA}$ 가 됩니다.

주어진 조건에서 $\overline{CA}=3$ 이므로,

$\overline{AE}=2\times 3=6$ 입니다.

[함정경고] 여기서 $\angle CAB$와 $\angle AED$가 같다고 착각하여 잘못된 변의 비를 구하기 쉽습니다. 그림의 순서(C-B-E)를 정확히 확인하여 $\angle CBA$와 $\angle ADE$가 같음을 찾아내야 합니다.

step3. 코사인법칙을 이용하여 $\cos (\angle ADE)$ 구하기

$△ADE$에서 세 변의 길이는 $\overline{AD}=5$, $\overline{DE}=4$, $\overline{AE}=6$ 입니다.

코사인법칙을 적용하여 $\cos (\angle ADE)$를 구합니다.

$\cos (\angle ADE)=\frac{{\overline{AD}}^2+{\overline{DE}}^2-{\overline{AE}}^2}{2\times \overline{AD}\times \overline{DE}}$

$=\frac{5^2+4^2-6^2}{2\times 5\times 4}$

$=\frac{25+16-36}{40}$

$=\frac{5}{40}=\frac{1}{8}$

step4. 코사인법칙을 이용하여 $\overline{CE}$ 길이 구하기

이제 우리가 구하고자 하는 $\overline{CE}$가 포함된 $△CDE$를 살펴봅니다.

세 점 C, A, D가 한 직선 위에 있으므로 $\overline{CD}=\overline{CA}+\overline{AD}=3+5=8$ 입니다.

$△CDE$에서 두 변의 길이는 $\overline{CD}=8$, $\overline{DE}=4$ 이고, 끼인각은 $\angle CDE$ 입니다.

이때 $\angle CDE$는 $\angle ADE$와 같은 각이므로 $\cos (\angle CDE)=\frac{1}{8}$ 입니다.

$△CDE$에 코사인법칙을 적용합니다.

${\overline{CE}}^2={\overline{CD}}^2+{\overline{DE}}^2-2\times \overline{CD}\times \overline{DE}\times \cos (\angle CDE)$

$=8^2+4^2-2\times 8\times 4\times \frac{1}{8}$

$=64+16-8$

$=72$

따라서 $\overline{CE}=\sqrt{72}=6\sqrt{2}$ 입니다.

[정답] ④

⚡ 실전용 풀이

step1. 각의 관계 파악

사각형 ABED는 원 $C_2$에 내접

$\angle CBA=\angle ADE$   --- (내접사각형의 외각과 내대각 성질)

step2. $\overline{AE}$ 길이 도출

$△CAB$에서 $\frac{3}{\sin (\angle CBA)}=2r_1$

$△ADE$에서 $\frac{\overline{AE}}{\sin (\angle ADE)}=2r_2$

$\sin (\angle CBA)=\sin (\angle ADE)$ 이므로

$\frac{3}{2r_1}=\frac{\overline{AE}}{2r_2}$

$\overline{AE}=3\times \frac{r_2}{r_1}=3\times 2=6$

step3. $\cos (\angle ADE)$ 계산

$△ADE$에서 코사인법칙 적용

$\cos (\angle ADE)=\frac{5^2+4^2-6^2}{2·5·4}=\frac{25+16-36}{40}=\frac{1}{8}$

step4. $\overline{CE}$ 길이 계산

$\overline{CD}=3+5=8$

$△CDE$에서 코사인법칙 적용

${\overline{CE}}^2=8^2+4^2-2·8·4·\frac{1}{8}$

${\overline{CE}}^2=64+16-8=72$

$\overline{CE}=6\sqrt{2}$

$\therefore 정답은④$

MATHJOURNEY · AI 수학 분석

해설을 봐도

강의를 들어도

모를 때

그냥 넘어가지 말고, 포기하지 말고.

아직 수학여정을 만나지 않았다면

포기하기 이를 때

수학 문제 사진 한 장으로 막힌 문제를 해결하세요

그림해설 AI 분석 리포트

🗺️

수학여정

📷 수학여정 바로 시작하기