2023년 6월 학평 (고1) 수학 28번 풀이 해설 [이해용/실전용]

수학여정 - 문제 분석 리포트

2023년 6월 학평 (고1) 수학 28번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	고등학교 (이차함수와 직선의 위치 관계, 도형의 넓이)
난이도	중상

🔍 이해용 풀이

문제

이차함수 $y=x^2-4x+\frac{25}{4}$ 의 그래프가 직선 $y=ax(a>0)$과 한 점 A에서만 만난다. 이차함수 $y=x^2-4x+\frac{25}{4}$ 의 그래프가 $y$축과 만나는 점을 B, 점 A에서 $x$축에 내린 수선의 발을 H 라 하고, 선분 OA와 선분 BH 가 만나는 점을 C 라 하자. 삼각형 BOC 의 넓이를 $S_1$, 삼각형 ACH 의 넓이를 $S_2$ 라 할 때, $S_1-S_2=\frac{q}{p}$ 이다. $p+q$의 값을 구하시오. (단, O는 원점이고, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.)

1. 문제의 요지

이 문제는 이차함수와 직선이 접할 조건(판별식 D=0)을 이용하여 접점의 좌표를 구하고, 두 삼각형의 넓이의 차를 공통 부분을 이용하여 쉽게 계산할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 이차함수: $y=x^2-4x+\frac{25}{4}$
- 직선: $y=ax$ ($a>0$)
- 이차함수와 직선이 한 점 A에서 만남
- 점 B: 이차함수의 y절편
- 점 H: 점 A에서 x축에 내린 수선의 발
- 점 C: 선분 OA와 선분 BH의 교점
- $S_1=△BOC$, $S_2=△ACH$
- $S_1-S_2=\frac{q}{p}$ ($p,q$는 서로소인 자연수)

3. 풀이의 순서

이 문제는 이차함수와 직선의 접할 조건을 이용하여 교점을 찾고, 공통 부분을 활용하여 두 삼각형의 넓이의 차를 구하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 이차함수와 직선이 접할 조건을 이용하여 $a$의 값을 구하고, 점 A의 좌표를 찾습니다.

step2. 이차함수의 식을 이용하여 점 B의 좌표를 구하고, 점 A의 좌표를 이용하여 점 H의 좌표를 구합니다.

step3. 공통 부분인 $△OCH$를 이용하여 $S_1-S_2$를 $△OBH-△OAH$로 변형하여 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 이차방정식의 판별식: 이차함수와 직선이 한 점에서 만날 때, 두 식을 연립한 이차방정식의 판별식 $D=0$이다.

- 삼각형의 넓이: 밑변과 높이를 이용하여 삼각형의 넓이를 구한다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 두 삼각형의 넓이의 차 $S_1-S_2$를 구할 때, 각각의 넓이를 직접 구하기보다 공통 부분인 $△OCH$를 더하여 $△OBH-△OAH$로 계산하면 훨씬 간단합니다.

step1. 이차함수 $y=x^2-4x+\frac{25}{4}$와 직선 $y=ax$가 한 점 A에서 만나므로(접하므로), 두 식을 연립한 이차방정식은 중근을 가져야 합니다.

$x^2-4x+\frac{25}{4}=ax$

$x^2-(a+4)x+\frac{25}{4}=0$

이 이차방정식의 판별식을 $D$라 하면, $D=0$이어야 합니다.

$D=(a+4{)}^2-4·1·\frac{25}{4}=0$

$(a+4{)}^2-25=0$

$(a+4{)}^2=25$

$a+4=5$ 또는 $a+4=-5$

$a=1$ 또는 $a=-9$

조건에서 $a>0$이므로 $a=1$입니다.

$a=1$을 이차방정식에 대입하면,

$x^2-5x+\frac{25}{4}=0$

$(x-\frac{5}{2}{)}^2=0$

따라서 $x=\frac{5}{2}$이고, $y=ax$에 대입하면 $y=\frac{5}{2}$입니다.

그러므로 점 A의 좌표는 $(\frac{5}{2},\frac{5}{2})$입니다.

step2. 점 B는 이차함수 $y=x^2-4x+\frac{25}{4}$의 $y$절편이므로 $x=0$을 대입하면 $y=\frac{25}{4}$입니다.

따라서 점 B의 좌표는 $(0,\frac{25}{4})$입니다.

점 H는 점 A에서 $x$축에 내린 수선의 발이므로, 점 A의 $x$좌표와 같고 $y$좌표는 0입니다.

따라서 점 H의 좌표는 $(\frac{5}{2},0)$입니다.

step3. [함정경고]** 점 C의 좌표를 직접 구해서 $S_1$과 $S_2$를 각각 계산하려고 하면 분수 계산이 복잡해져 실수하기 쉽습니다. 공통 부분을 활용하는 시야를 가지는 것이 중요합니다.

구하고자 하는 값은 $S_1-S_2$입니다.

그림에서 $△OBH=△BOC+△OCH=S_1+△OCH$ 이고,

$△OAH=△ACH+△OCH=S_2+△OCH$ 입니다.

따라서 두 식을 빼면,

$△OBH-△OAH=(S_1+△OCH)-(S_2+△OCH)=S_1-S_2$ 가 됩니다.

이제 $△OBH$와 $△OAH$의 넓이를 각각 구합니다.

$△OBH$는 밑변이 선분 OB이고 높이가 점 H의 $x$좌표인 삼각형입니다.

$△OBH=\frac{1}{2}\times \frac{25}{4}\times \frac{5}{2}=\frac{125}{16}$

$△OAH$는 밑변이 선분 OH이고 높이가 점 A의 $y$좌표인 직각삼각형입니다.

$△OAH=\frac{1}{2}\times \frac{5}{2}\times \frac{5}{2}=\frac{25}{8}=\frac{50}{16}$

따라서 $S_1-S_2=\frac{125}{16}-\frac{50}{16}=\frac{75}{16}$ 입니다.

문제에서 $S_1-S_2=\frac{q}{p}$ 이고 $p,q$는 서로소인 자연수이므로, $p=16,q=75$ 입니다.

최종적으로 $p+q=16+75=91$ 입니다.

[정답] 91

⚡ 실전용 풀이

step1. 점 A 좌표

$x^2-4x+\frac{25}{4}=ax$

$x^2-(a+4)x+\frac{25}{4}=0$

$D=(a+4{)}^2-25=0$   --- (접하므로 판별식 D=0)

$a+4=5(\because a>0)$

$\therefore a=1$

$x^2-5x+\frac{25}{4}=(x-\frac{5}{2}{)}^2=0$

$\therefore A(\frac{5}{2},\frac{5}{2})$

step2. 점 B, H 좌표

$B(0,\frac{25}{4})$   --- (y절편)

$H(\frac{5}{2},0)$   --- (A에서 x축에 내린 수선의 발)

step3. 넓이 차 계산

$S_1-S_2=(S_1+△OCH)-(S_2+△OCH)$

$=△OBH-△OAH$   --- (공통부분 $△OCH$ 활용)

$△OBH=\frac{1}{2}\times \frac{25}{4}\times \frac{5}{2}=\frac{125}{16}$

$△OAH=\frac{1}{2}\times \frac{5}{2}\times \frac{5}{2}=\frac{25}{8}=\frac{50}{16}$

$S_1-S_2=\frac{125}{16}-\frac{50}{16}=\frac{75}{16}$

$\therefore p=16,q=75$

$\therefore p+q=91$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

1. 이차함수와 직선이 '한 점에서 만난다'는 조건을 어떻게 수식으로 표현해야 할지 몰라 점 A의 좌표를 구하지 못할 수 있습니다. 2. 점 C의 좌표를 구해서 두 삼각형의 넓이를 각각 계산하려다 복잡한 분수 계산에 막혀 오답을 낼 수 있습니다.

🔑 돌파구

1. 두 그래프가 한 점에서 만난다는 것은 연립한 이차방정식이 중근을 가진다는 의미이므로, 판별식 $D=0$을 사용해야 합니다. 2. 구하고자 하는 것이 넓이의 '차'일 때는, 두 도형에 공통으로 인접한 도형을 더해서 계산하기 쉬운 큰 도형들의 차로 바꾸어 생각해보세요. (예: $S_1-S_2=(S_1+S)-(S_2+S)$)

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