2023년 6월 학평 (고2) 수학 3번 풀이 해설 [이해용/실전용]

수학여정 - 문제 분석 리포트

2023년 6월 학평 (고2) 수학 3번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	고등학교 (삼각함수)
난이도	하

🔍 이해용 풀이

문제

반지름의 길이가 4이고 중심각의 크기가 $\frac{5}{12}\pi$인 부채꼴의 넓이는? [2점] ① $\frac{10}{3}\pi$ ② $\frac{11}{3}\pi$ ③ $4\pi$ ④ $\frac{13}{3}\pi$ ⑤ $\frac{14}{3}\pi$

1. 문제의 요지

이 문제는 부채꼴의 넓이를 구하는 공식을 이용하여 주어진 반지름과 중심각으로부터 넓이를 계산할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 반지름 $r=4$
- 중심각 $\theta =\frac{5}{12}\pi$

3. 풀이의 순서

이 문제는 부채꼴의 넓이 공식을 적용하여 넓이를 계산하는 방법으로 문제를 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 부채꼴의 넓이를 구하는 공식을 확인합니다.

step2. 주어진 반지름과 중심각의 크기를 공식에 대입하여 넓이를 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 부채꼴의 넓이 공식: 반지름이 $r$, 중심각이 $\theta$(라디안)인 부채꼴의 넓이 $S$는 $S=\frac{1}{2}{r}^2\theta$ 이다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 부채꼴의 넓이는 반지름의 제곱과 중심각의 크기에 비례하며, 공식 $S=\frac{1}{2}{r}^2\theta$를 이용해 쉽게 구할 수 있습니다.

step1. 부채꼴의 넓이를 구하는 공식을 확인합니다.

반지름의 길이를 $r$, 중심각의 크기를 $\theta$라고 할 때, 부채꼴의 넓이 $S$는 다음과 같습니다.

$S=\frac{1}{2}{r}^2\theta$

step2. 주어진 반지름과 중심각의 크기를 공식에 대입하여 넓이를 계산합니다.

문제에서 주어진 조건은 $r=4$, $\theta =\frac{5}{12}\pi$ 입니다.

이를 공식에 대입하면,

$S=\frac{1}{2}\times 4^2\times \frac{5}{12}\pi$

$S=\frac{1}{2}\times 16\times \frac{5}{12}\pi$

$S=8\times \frac{5}{12}\pi$

$S=\frac{40}{12}\pi$

분모와 분자를 4로 약분하면,

$S=\frac{10}{3}\pi$ 가 됩니다.

[함정경고] 중심각이 호도법(라디안)으로 주어졌을 때, 육십분법으로 변환할 필요 없이 바로 공식에 대입해야 계산 실수를 줄일 수 있습니다.

따라서 정답은 ①입니다.

[정답] ①

⚡ 실전용 풀이

step1. 부채꼴 넓이 공식 적용

$S=\frac{1}{2}{r}^2\theta$   --- (부채꼴 넓이 공식)

step2. 값 대입 및 계산

$S=\frac{1}{2}\times 4^2\times \frac{5}{12}\pi$

$S=\frac{1}{2}\times 16\times \frac{5}{12}\pi$

$S=8\times \frac{5}{12}\pi$

$S=\frac{10}{3}\pi$

$\therefore 정답①$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

부채꼴의 넓이를 구하는 공식 $S=\frac{1}{2}{r}^2\theta$를 정확히 기억하지 못해 계산을 시작하지 못할 수 있습니다. 분수와 $\pi$가 포함된 식을 곱하고 약분하는 과정에서 단순 연산 실수가 발생할 수 있습니다.

🔑 돌파구

중심각이 라디안으로 주어졌을 때는 $S=\frac{1}{2}{r}^2\theta$ 공식을 바로 떠올려야 합니다. 식을 세운 후, $4^2=16$을 먼저 계산하고 $\frac{1}{2}$과 곱해 8을 만든 뒤, 분모 12와 약분하는 순서로 차근차근 계산하세요. 팁: 부채꼴의 호의 길이 $l=r\theta$와 넓이 $S=\frac{1}{2}rl$ 공식도 함께 기억해두면 유용합니다.

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