2025년 5월 학력평가 (고3) 수학 16번

 

수학여정 - 문제 분석 리포트

2025년 5월 학력평가 (고3) 수학 16번
문제의 분류	고등학교 (로그방정식)
난이도	하

 

🔍 이해용 풀이

문제

방정식 log3(x−3)=log3(5x−1) 을 만족시키는 실수 x의 값을 구하시오.

1. 문제의 요지

이 문제는 로그의 밑을 통일하여 진수끼리 비교함으로써 로그방정식을 풀 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- log3(x−3)=log3(5x−1)

3. 풀이의 순서

이 문제는 로그의 진수 조건을 먼저 확인한 후, 밑을 통일하여 이차방정식을 푸는 방법으로 문제를 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 로그가 정의되기 위한 진수 조건을 구합니다.

step2. 로그의 성질을 이용하여 양변의 밑을 3으로 통일합니다.

step3. 진수끼리 같다는 이차방정식을 세우고 풉니다.

step4. 구한 해 중에서 진수 조건을 만족하는 값을 최종 정답으로 선택합니다.

4. 풀이의 도구

- 로그의 진수 조건: logaN 이 정의되기 위해서는 N>0 이어야 합니다.

- 로그의 성질: logambn=nmlogab (단, a>0,a≠1,b>0)

5. 구체적 풀이

step1. 로그가 정의되기 위한 진수 조건을 구합니다.

로그의 진수는 항상 양수이어야 하므로,

x−3>0 에서 x>3

5x−1>0 에서 x>15

두 조건을 모두 만족해야 하므로 공통 범위는 x>3 입니다.

 

[함정경고] 로그방정식을 풀 때 진수 조건을 먼저 확인하지 않으면, 나중에 무연근(조건을 만족하지 않는 가짜 해)을 정답으로 착각하기 쉽습니다.

 

step2. 로그의 성질을 이용하여 양변의 밑을 3으로 통일합니다.

좌변의 밑 3 은 312 이므로 로그의 성질을 이용해 변형합니다.

log3(x−3)=log312(x−3)=112log3(x−3)=2log3(x−3)

이것을 다시 진수의 지수로 올리면,

2log3(x−3)=log3(x−3)2 이 됩니다.

 

[키포인트] 밑이 다를 때는 거듭제곱근을 지수로 표현하여 밑을 같게 만들어주는 것이 핵심입니다.

 

step3. 진수끼리 같다는 이차방정식을 세우고 풉니다.

방정식은 log3(x−3)2=log3(5x−1) 이 됩니다.

밑이 3으로 같으므로 진수끼리 같아야 합니다.

(x−3)2=5x−1

전개하여 정리하면,

x2−6x+9=5x−1

x2−11x+10=0

인수분해하면,

(x−1)(x−10)=0

따라서 x=1 또는 x=10 입니다.

 

step4. 구한 해 중에서 진수 조건을 만족하는 값을 최종 정답으로 선택합니다.

step1. 에서 구한 진수 조건이 x>3 이므로,

x=1 은 조건에 맞지 않고, x=10 만이 조건을 만족합니다.

따라서 구하는 실수 x의 값은 10 입니다.

[정답] 10

⚡ 실전용 풀이

step1. 진수 조건

x−3>0⇒x>3

5x−1>0⇒x>15

∴x>3

 

step2. 밑 통일

log3(x−3)=log312(x−3)=2log3(x−3)=log3(x−3)2

 

step3. 방정식 풀이

log3(x−3)2=log3(5x−1)

(x−3)2=5x−1

x2−6x+9=5x−1

x2−11x+10=0

(x−1)(x−10)=0

x=1 or x=10

 

step4. 조건 확인

x>3 이므로

∴x=10

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