2023년 6월 학평 (고2) 수학 6번 풀이 해설 [이해용/실전용]

수학여정 - 문제 분석 리포트

2023년 6월 학평 (고2) 수학 6번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	고등학교 (삼각함수의 활용)
난이도	하

🔍 이해용 풀이

문제

6. $\overline{AB}$=3, $\overline{AC}$=6이고 $\cos A=\frac{5}{9}$인 삼각형 ABC에서 선분 BC의 길이는? [3점] ① 4 ② $\frac{9}{2}$ ③ 5 ④ $\frac{11}{2}$ ⑤ 6

1. 문제의 요지

이 문제는 삼각형의 두 변의 길이와 그 끼인가의 코사인 값이 주어졌을 때, 코사인법칙을 이용하여 나머지 한 변의 길이를 구할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- $\overline{AB}=3$
- $\overline{AC}=6$
- $\cos A=\frac{5}{9}$

3. 풀이의 순서

이 문제는 삼각형의 두 변과 끼인각이 주어졌을 때 나머지 한 변의 길이를 구하는 전형적인 코사인법칙 적용 문제입니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 코사인법칙 공식을 떠올리고 주어진 조건들을 공식에 대입합니다.

step2. 식을 계산하여 ${\overline{BC}}^2$의 값을 구합니다.

step3. 길이는 양수이므로 제곱근을 취하여 $\overline{BC}$의 길이를 최종적으로 구합니다.

4. 풀이의 도구

- 코사인법칙: 삼각형 ABC에서 $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$ 가 성립한다. (여기서 $a=\overline{BC}$, $b=\overline{AC}$, $c=\overline{AB}$)

5. 구체적 풀이

[키포인트] 삼각형에서 두 변의 길이와 그 끼인각(또는 끼인각의 삼각비)이 주어지고 나머지 한 변의 길이를 구해야 할 때는 '코사인법칙'을 가장 먼저 떠올려야 합니다.

step1. 코사인법칙 공식을 적용합니다.

삼각형 ABC에서 코사인법칙에 의해 다음 식이 성립합니다.

${\overline{BC}}^2={\overline{AB}}^2+{\overline{AC}}^2-2·\overline{AB}·\overline{AC}·\cos A$

step2. 주어진 조건들을 공식에 대입하여 계산합니다.

문제에서 $\overline{AB}=3$, $\overline{AC}=6$, $\cos A=\frac{5}{9}$ 라고 주어졌으므로, 이를 위 식에 대입합니다.

${\overline{BC}}^2=3^2+6^2-2·3·6·\frac{5}{9}$

${\overline{BC}}^2=9+36-36·\frac{5}{9}$

${\overline{BC}}^2=45-20$

${\overline{BC}}^2=25$

[함정경고] 계산 과정에서 $36·\frac{5}{9}$를 계산할 때 약분을 실수하지 않도록 주의하세요. $36$을 $9$로 나누면 $4$가 되고, $4\times 5=20$이 됩니다.

step3. $\overline{BC}$의 길이를 구합니다.

변의 길이는 항상 양수이므로, $\overline{BC}>0$ 입니다.

따라서 $\overline{BC}=\sqrt{25}=5$ 가 됩니다.

결과적으로 선분 BC의 길이는 5이므로, 정답은 ③번입니다.

[정답] ③

⚡ 실전용 풀이

step1. 코사인법칙 적용

${\overline{BC}}^2={\overline{AB}}^2+{\overline{AC}}^2-2·\overline{AB}·\overline{AC}·\cos A$

step2. 값 대입 및 계산

${\overline{BC}}^2=3^2+6^2-2·3·6·\frac{5}{9}$

${\overline{BC}}^2=9+36-36·\frac{5}{9}$

${\overline{BC}}^2=45-20=25$

step3. 길이 도출

$\overline{BC}>0$ 이므로

$\overline{BC}=5$

$\therefore 정답③$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

이 문제에서 학생이 막힐 가능성이 가장 높은 지점은 어떤 공식을 사용해야 할지 떠올리지 못하는 것입니다. 두 변의 길이와 끼인각의 코사인 값이 주어졌을 때 나머지 한 변을 구하는 상황과 코사인법칙을 연결 짓지 못하면 풀이를 시작할 수 없습니다.

🔑 돌파구

삼각형에서 '두 변과 끼인각'이라는 조건이 보이면 즉각적으로 '코사인법칙'을 떠올리는 훈련이 필요합니다. 공식 $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$를 정확히 암기하고, 주어진 값들을 그대로 대입하여 계산하는 연습을 해보세요. '두 변과 끼인각 -> 코사인법칙'은 수학 I 삼각함수 단원의 가장 기본적이고 중요한 연결 고리입니다.

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