2023년 6월 학평 (고2) 수학 9번 풀이 해설 [이해용/실전용]

수학여정 - 문제 분석 리포트

2023년 6월 학평 (고2) 수학 9번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	고등학교 (삼각함수)
난이도	하

🔍 이해용 풀이

문제

$\pi <\theta <\frac{3}{2}\pi$ 인 $\theta$에 대하여 $\sin \theta =-\frac{1}{3}$ 일 때, $\tan \theta$의 값은? ① $-\frac{\sqrt{3}}{4}$ ② $-\frac{\sqrt{2}}{4}$ ③ $\frac{1}{4}$ ④ $\frac{\sqrt{2}}{4}$ ⑤ $\frac{\sqrt{3}}{4}$

1. 문제의 요지

이 문제는 삼각함수의 상호 관계와 사분면에 따른 삼각함수의 부호를 이용하여 다른 삼각함수의 값을 구하는 것을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- $\pi <\theta <\frac{3}{2}\pi$
- $\sin \theta =-\frac{1}{3}$

3. 풀이의 순서

이 문제는 삼각함수의 제곱 관계와 사분면에 따른 부호를 이용하여 탄젠트 값을 구하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 주어진 각의 범위를 통해 코사인과 탄젠트의 부호를 결정합니다.

step2. 삼각함수의 제곱 관계를 이용하여 코사인 값을 구합니다.

step3. 사인과 코사인의 비율을 이용하여 탄젠트 값을 계산하고 정답을 도출합니다.

4. 풀이의 도구

- 삼각함수의 부호: 제3사분면($\pi <\theta <\frac{3}{2}\pi$)에서 $\sin \theta <0$, $\cos \theta <0$, $\tan \theta >0$ 이다.

- 삼각함수의 상호 관계: ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$, $\tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }$

5. 구체적 풀이

[키포인트] 삼각함수 값 하나를 알 때 다른 삼각함수 값을 구하려면, ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$ 공식을 사용하고, 주어진 각의 범위로 부호를 결정하는 것이 핵심입니다.

step1. 주어진 조건에서 $\pi <\theta <\frac{3}{2}\pi$ 이므로 $\theta$는 제3사분면의 각입니다. 제3사분면에서는 탄젠트만 양수이므로 $\cos \theta <0$, $\tan \theta >0$ 입니다.

step2. 삼각함수의 상호 관계 ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$ 에 $\sin \theta =-\frac{1}{3}$ 을 대입합니다.

${(-\frac{1}{3})}^2+{\cos }^2\theta =1$

$\frac{1}{9}+{\cos }^2\theta =1$

${\cos }^2\theta =\frac{8}{9}$

[함정경고] 여기서 제곱근을 취할 때 부호를 놓치기 쉽습니다. $\cos \theta <0$ 이므로 반드시 음의 제곱근을 선택해야 합니다.

$\cos \theta =-\sqrt{\frac{8}{9}}=-\frac{2\sqrt{2}}{3}$

step3. $\tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }$ 이므로, 구한 값들을 대입합니다.

$\tan \theta =\frac{-\frac{1}{3}}{-\frac{2\sqrt{2}}{3}}=\frac{1}{2\sqrt{2}}$

분모를 유리화하면,

$\tan \theta =\frac{\sqrt{2}}{4}$

따라서 정답은 ④입니다.

[정답] ④

⚡ 실전용 풀이

step1. 부호 결정

$\pi <\theta <\frac{3}{2}\pi$

$\therefore \cos \theta <0,\tan \theta >0$

step2. $\cos \theta$ 계산

${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$

$\frac{1}{9}+{\cos }^2\theta =1$

${\cos }^2\theta =\frac{8}{9}$

$\cos \theta =-\frac{2\sqrt{2}}{3}$   --- ($\cos \theta <0$ 이므로)

step3. $\tan \theta$ 계산

$\tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }$

$=\frac{-\frac{1}{3}}{-\frac{2\sqrt{2}}{3}}$

$=\frac{1}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$

$\therefore ④$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

${\cos }^2\theta$ 값을 구한 후 $\cos \theta$의 부호를 결정할 때, 주어진 각의 범위($\pi <\theta <\frac{3}{2}\pi$)를 고려하지 않아 양수로 잘못 판단할 수 있습니다. $\tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }$ 공식을 잊었거나, 분수 계산 및 유리화 과정에서 계산 실수가 발생할 수 있습니다.

🔑 돌파구

각 사분면에서의 삼각함수 부호(올-사-탄-코)를 떠올려, 제3사분면에서는 탄젠트만 양수이고 코사인은 음수임을 명확히 적용하세요. 직각삼각형을 그려 빗변 3, 높이 1로 두고 밑변을 피타고라스 정리로 구한 뒤, 사분면 부호만 마지막에 붙여주는 방법도 직관적이고 실수를 줄이는 좋은 팁입니다.

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