2023년 6월 학평 (고2) 수학 11번 풀이 해설 [이해용/실전용]

수학여정 - 문제 분석 리포트

2023년 6월 학평 (고2) 수학 11번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	고등학교 (삼각함수의 활용)
난이도	중하

🔍 이해용 풀이

문제

반지름의 길이가 4인 원에 내접하는 삼각형 ABC가 있다. 이 삼각형의 둘레의 길이가 12일 때, $\sin A+\sin B+\sin (A+B)$의 값은? [3점] ① $\frac{3}{2}$ ② $\frac{8}{5}$ ③ $\frac{17}{10}$ ④ $\frac{9}{5}$ ⑤ $\frac{19}{10}$

1. 문제의 요지

이 문제는 사인법칙과 삼각형의 내각의 합 성질을 이용하여 주어진 삼각함수 식의 값을 구할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 외접원의 반지름 $R=4$
- 삼각형 ABC의 둘레의 길이 $a+b+c=12$

3. 풀이의 순서

이 문제는 삼각형의 내각의 합 성질과 사인법칙을 이용하여 변의 길이와 삼각함수의 관계를 연결하는 방법으로 문제를 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 삼각형의 내각의 합 성질을 이용하여 $\sin (A+B)$를 $\sin C$로 변환합니다.

step2. 사인법칙을 적용하여 $\sin A,\sin B,\sin C$를 각각 변의 길이와 외접원의 반지름으로 나타냅니다.

step3. 주어진 둘레의 길이와 외접원의 반지름 값을 대입하여 최종 정답을 도출합니다.

4. 풀이의 도구

- 삼각형의 내각의 합: 삼각형 ABC에서 세 내각의 크기의 합은 $A+B+C=\pi$ 이다.

- 사인법칙: 외접원의 반지름이 $R$인 삼각형 ABC에서 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$ 이 성립한다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 삼각형의 세 각의 합이 ${180}^{\circ }$($\pi$)임을 이용하여 $\sin (A+B)$를 하나의 각에 대한 삼각함수로 바꾸는 것이 이 문제의 핵심입니다.

step1. 삼각형 ABC의 세 내각의 크기의 합은 $\pi$이므로, $A+B+C=\pi$가 성립합니다.

따라서 $A+B=\pi -C$로 나타낼 수 있습니다.

이를 주어진 식에 대입하면, $\sin (A+B)=\sin (\pi -C)=\sin C$가 됩니다.

결과적으로 우리가 구해야 하는 값은 $\sin A+\sin B+\sin C$입니다.

[함정경고] 여기서 $\sin (\pi -C)$를 $-\sin C$로 착각하기 쉽습니다. 제2사분면에서 사인은 양수이므로 $\sin (\pi -C)=\sin C$임을 주의해야 합니다.

step2. 삼각형 ABC의 외접원의 반지름을 $R$, 세 변의 길이를 각각 $a,b,c$라고 합시다.

사인법칙에 의해 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$이 성립합니다.

이를 사인에 대해 정리하면, $\sin A=\frac{a}{2R}$, $\sin B=\frac{b}{2R}$, $\sin C=\frac{c}{2R}$가 됩니다.

step3. step1에서 구한 식에 step2의 결과를 대입합니다.

$\sin A+\sin B+\sin C=\frac{a}{2R}+\frac{b}{2R}+\frac{c}{2R}=\frac{a+b+c}{2R}$

문제에서 외접원의 반지름 $R=4$이고, 삼각형의 둘레의 길이 $a+b+c=12$라고 주어졌습니다.

따라서 구하는 값은 $\frac{12}{2\times 4}=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}$입니다.

[정답] ①

⚡ 실전용 풀이

step1. 각의 변환

$A+B+C=\pi$

$\sin (A+B)=\sin (\pi -C)=\sin C$

step2. 사인법칙 적용

$\sin A+\sin B+\sin C$

$=\frac{a}{2R}+\frac{b}{2R}+\frac{c}{2R}$   --- (사인법칙 $\sin A=\frac{a}{2R}$ 이용)

$=\frac{a+b+c}{2R}$

step3. 값 대입

$=\frac{12}{2\times 4}$   --- ($R=4$, $a+b+c=12$ 대입)

$=\frac{3}{2}$

$\therefore 정답$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

$\sin (A+B)$를 어떻게 처리해야 할지 몰라 막힐 수 있습니다. 세 각의 합이 $\pi$라는 기본적인 성질을 떠올리지 못하면 식을 간단히 할 수 없습니다. 각에 대한 삼각함수의 합을 변의 길이에 대한 정보로 연결하는 사인법칙을 떠올리지 못해 계산을 진행하지 못할 수 있습니다.

🔑 돌파구

삼각형의 세 각이 등장할 때는 항상 $A+B+C=\pi$를 이용하여 두 각의 합을 하나의 각으로 줄이는 시도를 해보세요. 각의 사인값과 변의 길이, 그리고 외접원의 반지름이 함께 주어졌을 때는 사인법칙 $\sin A=\frac{a}{2R}$를 떠올려 식을 변의 길이에 대한 식으로 바꾸어 보세요.

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