2023년 6월 학평 (고2) 수학 13번 풀이 해설 [이해용/실전용]

수학여정 - 문제 분석 리포트

2023년 6월 학평 (고2) 수학 13번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	고등학교 (지수부등식)
난이도	중하

🔍 이해용 풀이

문제

부등식 $(2^x-8)(\frac{1}{3^x}-9)\ge 0$ 을 만족시키는 정수 $x$의 개수는? [3점] ① 6 ② 7 ③ 8 ④ 9 ⑤ 10

1. 문제의 요지

이 문제는 지수함수의 성질을 이용하여 주어진 지수부등식을 풀고, 이를 만족하는 정수 해의 개수를 구할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 부등식: $(2^x-8)(\frac{1}{3^x}-9)\ge 0$
- $x$는 정수

3. 풀이의 순서

이 문제는 두 인수의 곱이 0 이상이 되는 조건을 이용하여 연립부등식을 세우고 푸는 방법으로 문제를 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 주어진 부등식의 각 인수를 밑이 같은 지수 형태로 변환합니다.

step2. 두 인수의 곱이 0 이상이 되는 두 가지 경우(둘 다 양수이거나 둘 다 음수)로 나누어 연립부등식을 세웁니다.

step3. 각 경우의 부등식을 풀어 해의 범위를 구하고, 이를 만족하는 정수 $x$의 개수를 구합니다.

4. 풀이의 도구

- 지수부등식의 성질: $a>1$일 때, $a^{f(x)}\ge a^{g(x)}$ 이면 $f(x)\ge g(x)$ 이다.

- 이차부등식 형태의 풀이: $A·B\ge 0$ 이면 ($A\ge 0$ 이고 $B\ge 0$) 또는 ($A\le 0$ 이고 $B\le 0$) 이다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 두 식의 곱이 0 이상이 되려면 두 식의 부호가 같아야 한다는 점을 이용해 경우를 나누어 푸는 것이 핵심입니다.

step1. 주어진 부등식의 각 인수를 밑이 같은 지수 형태로 변환합니다.

주어진 부등식은 $(2^x-8)(\frac{1}{3^x}-9)\ge 0$ 입니다.

$8=2^3$ 이고, $\frac{1}{3^x}=3^{-x}$, $9=3^2$ 이므로 부등식을 다음과 같이 바꿀 수 있습니다.

$(2^x-2^3)(3^{-x}-3^2)\ge 0$

step2. 두 인수의 곱이 0 이상이 되는 두 가지 경우로 나누어 연립부등식을 세웁니다.

두 식의 곱이 0 이상이 되려면, 두 식이 모두 0 이상이거나 모두 0 이하여야 합니다.

- 첫 번째 경우: $2^x-2^3\ge 0$ 이고 $3^{-x}-3^2\ge 0$

- 두 번째 경우: $2^x-2^3\le 0$ 이고 $3^{-x}-3^2\le 0$

step3. 각 경우의 부등식을 풀어 해의 범위를 구하고, 이를 만족하는 정수 $x$의 개수를 구합니다.

- 첫 번째 경우:

$2^x\ge 2^3$ 에서 밑이 1보다 크므로 $x\ge 3$ 입니다.

$3^{-x}\ge 3^2$ 에서 밑이 1보다 크므로 $-x\ge 2$, 즉 $x\le -2$ 입니다.

$x\ge 3$ 이면서 $x\le -2$ 인 실수는 존재하지 않습니다.

- 두 번째 경우:

$2^x\le 2^3$ 에서 $x\le 3$ 입니다.

$3^{-x}\le 3^2$ 에서 $-x\le 2$, 즉 $x\ge -2$ 입니다.

두 조건을 동시에 만족하는 범위는 $-2\le x\le 3$ 입니다.

[함정경고] 부등식의 해를 구할 때, 밑이 1보다 큰지 작은지 확인하지 않고 지수의 부등호 방향을 결정하면 틀리기 쉽습니다. 여기서는 밑이 2와 3으로 모두 1보다 크므로 부등호 방향이 그대로 유지됩니다.

따라서 부등식을 만족하는 정수 $x$는 $-2,-1,0,1,2,3$ 입니다.

정수 $x$의 개수는 $3-(-2)+1=6$개입니다.

[정답] ①

⚡ 실전용 풀이

step1. 지수 형태로 변환

$(2^x-2^3)(3^{-x}-3^2)\ge 0$

step2. 경우 나누기

--- $A·B\ge 0$ 이므로 부호가 같아야 함

i) $2^x-2^3\ge 0$ 이고 $3^{-x}-3^2\ge 0$

$x\ge 3$ 이고 $-x\ge 2⟹x\le -2$

--- 만족하는 $x$ 없음

ii) $2^x-2^3\le 0$ 이고 $3^{-x}-3^2\le 0$

$x\le 3$ 이고 $-x\le 2⟹x\ge -2$

$\therefore -2\le x\le 3$

step3. 정수 개수 구하기

정수 $x=-2,-1,0,1,2,3$

개수: $3-(-2)+1=6$

$\therefore 6$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

- 지수 형태의 식을 다룰 때, $\frac{1}{3^x}$를 $3^{-x}$로 변환하는 과정에서 실수가 발생할 수 있습니다. - 두 식의 곱이 0 이상이라는 조건을 연립부등식으로 나누어 푸는 논리적 전개에서 막힐 수 있습니다.

🔑 돌파구

- 분수 형태의 지수는 음수 지수로 바꾸어 밑을 통일하는 것이 계산에 유리합니다. - $A·B\ge 0$ 꼴의 부등식은 $A$와 $B$의 부호가 같다는 의미이므로, 둘 다 양수이거나 둘 다 음수인 두 가지 경우로 나누어 접근하세요. - 팁: 지수부등식에서는 항상 밑이 1보다 큰지 작은지 확인하여 지수의 부등호 방향을 결정하는 습관을 들이세요.

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