2025년 5월 학력평가 (고3) 수학 17번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2025년 5월 학력평가 (고3) 수학 17번
문제의 분류	고등학교 (정적분)
난이도	하

🔍 이해용 풀이

문제

17. ${\int }_0^a(4x^2-3x)dx={\int }_0^a(x^2+x)dx$ 를 만족시키는 양수 $a$의 값을 구하시오. [3점]

1. 문제의 요지

이 문제는 정적분의 성질을 이용하여 두 정적분의 값이 같을 때의 미지수를 구하는 것을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- ${\int }_0^a(4x^2-3x)dx={\int }_0^a(x^2+x)dx$
- $a>0$

3. 풀이의 순서

이 문제는 정적분의 성질을 이용하여 식을 간단히 한 후, 정적분을 계산하여 방정식을 푸는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 우변의 정적분을 좌변으로 이항하여 하나의 정적분으로 합칩니다.

step2. 피적분함수를 간단히 정리합니다.

step3. 정적분을 계산하여 $a$에 대한 방정식을 세웁니다.

step4. 방정식을 풀고 양수 조건에 맞는 $a$의 값을 구합니다.

4. 풀이의 도구

- 정적분의 선형성: ${\int }_a^{b}f(x)dx\pm {\int }_a^{b}g(x)dx={\int }_a^b\{f(x)\pm g(x)\}dx$ (적분 구간이 같을 때 성립)

5. 구체적 풀이

이 문제는 정적분의 성질을 이용하여 식을 간단히 한 후, 정적분을 계산하여 미지수를 구하는 문제입니다.

[키포인트] 적분 구간이 같을 때는 두 정적분을 하나로 합쳐서 계산하면 훨씬 편리합니다.

step1. 우변의 정적분을 좌변으로 이항하여 하나의 정적분으로 합칩니다.

주어진 식은 ${\int }_0^a(4x^2-3x)dx={\int }_0^a(x^2+x)dx$ 입니다.

우변을 좌변으로 이항하면,

${\int }_0^a(4x^2-3x)dx-{\int }_0^a(x^2+x)dx=0$

적분 구간이 $[0,a]$로 같으므로, 정적분의 성질을 이용하여 하나의 적분으로 합칠 수 있습니다.

${\int }_0^a\{(4x^2-3x)-(x^2+x)\}dx=0$

step2. 피적분함수를 간단히 정리합니다.

괄호 안의 식을 정리하면,

${\int }_0^a(3x^2-4x)dx=0$

step3. 정적분을 계산하여 $a$에 대한 방정식을 세웁니다.

다항함수의 부정적분을 구하여 정적분을 계산합니다.

${[x^3-2x^2]}_0^a=0$

위끝 $a$를 대입한 값에서 아래끝 $0$을 대입한 값을 빼면,

$(a^3-2a^2)-(0-0)=0$

$a^3-2a^2=0$

step4. 방정식을 풀고 양수 조건에 맞는 $a$의 값을 구합니다.

방정식을 인수분해하면,

$a^2(a-2)=0$

따라서 $a=0$ 또는 $a=2$ 입니다.

[함정경고] 여기서 $a=0$을 답으로 포함하지 않도록 주의해야 합니다. 문제에서 $a$는 '양수'라고 명시했기 때문입니다.

조건에 따라 $a>0$ 이므로, 구하는 양수 $a$의 값은 $2$ 입니다.

[정답] 2

⚡ 실전용 풀이

step1. , 2. 정적분 합치기

${\int }_0^a(4x^2-3x)dx-{\int }_0^a(x^2+x)dx=0$

${\int }_0^a(3x^2-4x)dx=0$

step3. 정적분 계산

${[x^3-2x^2]}_0^a=0$

$a^3-2a^2=0$

step4. 방정식 풀이

$a^2(a-2)=0$

$a=0$ 또는 $a=2$

$a>0$ 이므로

$\therefore 2$

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