2023년 6월 학평 (고2) 수학 17번 풀이 해설 [이해용/실전용]

수학여정 - 문제 분석 리포트

2023년 6월 학평 (고2) 수학 17번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	고등학교 (삼각함수)
난이도	중

🔍 이해용 풀이

문제

17. 좌표평면에서 곡선 $y=\sqrt{x}(x>0)$ 위의 점 P에 대하여 동경 OP가 나타내는 각의 크기를 $\theta$라 하자. ${\cos }^2\theta -2{\sin }^2\theta =-1$ 일 때, 선분 OP의 길이는? (단, O는 원점이고, $x$축의 양의 방향을 시초선으로 한다.) [4점] ① $\frac{1}{2}$ ② $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ③ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ④ $1$ ⑤ $\frac{\sqrt{5}}{2}$

1. 문제의 요지

이 문제는 삼각함수의 관계식과 동경의 정의를 이용하여 곡선 위의 점의 좌표와 원점 사이의 거리를 구하는 것을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 점 P는 곡선 $y=\sqrt{x}(x>0)$ 위의 점
- 동경 OP가 나타내는 각의 크기는 $\theta$
- ${\cos }^2\theta -2{\sin }^2\theta =-1$
- O는 원점, $x$축의 양의 방향이 시초선

3. 풀이의 순서

이 문제는 삼각함수의 관계식을 이용하여 탄젠트 값을 구하고, 동경의 정의를 통해 좌표를 찾는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 삼각함수의 관계식을 이용하여 $\tan \theta$의 값을 구합니다.

step2. 점 P의 좌표를 설정하고, 동경의 정의를 이용하여 $x$좌표를 구합니다.

step3. 점 P의 좌표를 이용하여 선분 OP의 길이를 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 삼각함수의 관계: ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$, $\tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }$

- 동경과 삼각함수의 정의: 원점 O와 점 $(x,y)$를 잇는 동경이 나타내는 각 $\theta$에 대하여 $\tan \theta =\frac{y}{x}$

5. 구체적 풀이

[키포인트] 삼각함수의 제곱 관계식 ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$을 이용하여 주어진 식을 $\tan \theta$에 대한 식으로 변환하는 것이 이 문제의 핵심입니다.

[함정경고] 점 P가 $x>0$인 곡선 $y=\sqrt{x}$ 위에 있으므로 제1사분면의 점이라는 사실을 놓치기 쉽습니다. 이를 통해 $\tan \theta$의 부호가 양수임을 정확히 판단해야 합니다.

step1. 삼각함수의 관계식을 이용하여 $\tan \theta$의 값을 구합니다.

주어진 조건에서 ${\cos }^2\theta -2{\sin }^2\theta =-1$ 입니다.

우변의 $-1$을 삼각함수의 기본 성질인 ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$을 이용하여 변형하면, $-1=-({\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta )$가 됩니다.

이를 원래 식에 대입하면,

${\cos }^2\theta -2{\sin }^2\theta =-{\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta$

양변을 정리하면,

$2{\cos }^2\theta ={\sin }^2\theta$

양변을 ${\cos }^2\theta$로 나누면 (단, $\cos \theta \ne 0$),

$\frac{{\sin }^2\theta }{{\cos }^2\theta }=2$

즉, ${\tan }^2\theta =2$ 가 됩니다.

step2. 점 P의 좌표를 설정하고, 동경의 정의를 이용하여 $x$좌표를 구합니다.

점 P는 곡선 $y=\sqrt{x}$ ($x>0$) 위의 점이므로, P의 좌표를 $(a,\sqrt{a})$ (단, $a>0$)로 둘 수 있습니다.

점 P가 제1사분면 위의 점이므로, 동경 OP가 나타내는 각 $\theta$에 대하여 $\tan \theta >0$ 입니다.

따라서 $\tan \theta =\sqrt{2}$ 입니다.

동경의 정의에 의해 $\tan \theta =\frac{y\text{좌표}}{x\text{좌표}}$ 이므로,

$\tan \theta =\frac{\sqrt{a}}{a}=\frac{1}{\sqrt{a}}$ 가 됩니다.

즉, $\frac{1}{\sqrt{a}}=\sqrt{2}$ 이므로, $\sqrt{a}=\frac{1}{\sqrt{2}}$ 이고, 양변을 제곱하면 $a=\frac{1}{2}$ 을 얻습니다.

step3. 점 P의 좌표를 이용하여 선분 OP의 길이를 계산합니다.

$a=\frac{1}{2}$ 이므로 점 P의 좌표는 $(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{2}}{2})$ 입니다.

원점 O와 점 P 사이의 거리, 즉 선분 OP의 길이는 두 점 사이의 거리 공식을 이용하여 구합니다.

$\overline{OP}=\sqrt{{\left(\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2}=\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{2}{4}}=\sqrt{\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

따라서 선분 OP의 길이는 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 입니다.

[정답] ③

⚡ 실전용 풀이

step1. 삼각함수 관계식 정리

${\cos }^2\theta -2{\sin }^2\theta =-1$

${\cos }^2\theta -2{\sin }^2\theta =-({\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta )$   --- (${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$ 이용)

$2{\cos }^2\theta ={\sin }^2\theta$

${\tan }^2\theta =2$

step2. 점 P의 좌표 설정 및 a 계산

$P(a,\sqrt{a})$ ($a>0$)라 하면, 제1사분면이므로 $\tan \theta >0$

$\tan \theta =\frac{\sqrt{a}}{a}=\frac{1}{\sqrt{a}}=\sqrt{2}$

$\sqrt{a}=\frac{1}{\sqrt{2}}⟹a=\frac{1}{2}$

step3. 선분 OP의 길이 계산

$P(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{2}}{2})$

$\overline{OP}=\sqrt{(\frac{1}{2}{)}^2+(\frac{\sqrt{2}}{2}{)}^2}=\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{2}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\therefore 정답③$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

주어진 삼각함수 방정식 ${\cos }^2\theta -2{\sin }^2\theta =-1$을 어떻게 처리해야 할지 몰라 막힐 가능성이 높습니다. 곡선 위의 점 P의 좌표와 삼각함수 $\theta$ 사이의 관계를 식으로 세우는 데 어려움을 겪을 수 있습니다.

🔑 돌파구

${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$을 이용하여 주어진 식의 우변 $-1$을 변형하면 하나의 삼각함수(예: $\tan \theta$)로 통일할 수 있습니다. 점 P의 좌표를 $(a,\sqrt{a})$로 두고, $\tan \theta =\frac{y}{x}$ 임을 이용하면 $a$의 값을 쉽게 구할 수 있습니다. 삼각함수와 좌표를 연결하는 연습을 해보세요.

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