2023년 6월 학평 (고2) 수학 18번 풀이 해설 [이해용/실전용]

수학여정 - 문제 분석 리포트

2023년 6월 학평 (고2) 수학 18번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	고등학교 (지수함수와 로그함수)
난이도	중

🔍 이해용 풀이

문제

그림과 같이 두 곡선 $y=2^{x+1}$, $y=2^{-x+1}$과 세 점 A(-1, 1), B(1, 1), C(0, 2)가 있다. 실수 $k(1<k<2)$에 대하여 두 곡선 $y=2^{x+1}$, $y=2^{-x+1}$과 직선 $y=k$가 만나는 점을 각각 D, E, 직선 $y=2k$가 만나는 점을 각각 F, G라 하자. 사각형 ABED의 넓이와 삼각형 CFG의 넓이가 같을 때, $k$의 값은? [4점] ① $2^{\frac{1}{6}}$ ② $2^{\frac{1}{3}}$ ③ $2^{\frac{1}{2}}$ ④ $2^{\frac{2}{3}}$ ⑤ $2^{\frac{5}{6}}$

1. 문제의 요지

이 문제는 지수함수의 그래프와 직선의 교점의 좌표를 구하고, 이를 이용하여 다각형의 넓이를 계산하는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 두 곡선: $y=2^{x+1}$, $y=2^{-x+1}$
- 세 점: A(-1, 1), B(1, 1), C(0, 2)
- 실수 $k$의 범위: $1<k<2$
- 점 D, E: 두 곡선과 직선 $y=k$의 교점
- 점 F, G: 두 곡선과 직선 $y=2k$의 교점
- 조건: 사각형 ABED의 넓이 = 삼각형 CFG의 넓이

3. 풀이의 순서

이 문제는 지수함수의 식을 이용하여 각 교점의 좌표를 구하고, 사다리꼴과 삼각형의 넓이 공식을 적용하여 방정식을 세우는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 직선 $y=k$와 두 곡선의 교점 D, E의 좌표를 구합니다.

step2. 직선 $y=2k$와 두 곡선의 교점 F, G의 좌표를 구합니다.

step3. 사각형 ABED(사다리꼴)의 넓이를 $k$에 대한 식으로 나타냅니다.

step4. 삼각형 CFG의 넓이를 $k$에 대한 식으로 나타냅니다.

step5. 두 넓이가 같다는 조건을 이용하여 $k$의 값을 구합니다.

4. 풀이의 도구

- 로그의 정의: $a^x=b⟺x={\log }_{a}b$ (단, $a>0,a\ne 1,b>0$)

- 사다리꼴의 넓이: $\frac{1}{2}\times (\text{윗변}+\text{아랫변})\times \text{높이}$

- 삼각형의 넓이: $\frac{1}{2}\times \text{밑변}\times \text{높이}$

5. 구체적 풀이

[키포인트] 지수함수의 그래프와 평행한 직선의 교점은 $y$좌표가 주어졌을 때 $x$좌표를 로그를 이용하여 표현할 수 있습니다. 이를 통해 도형의 밑변과 높이를 $k$에 대한 식으로 나타내는 것이 핵심입니다.

step1. 점 D, E의 좌표 구하기

직선 $y=k$와 곡선 $y=2^{x+1}$이 만나는 점 D의 $x$좌표를 구합니다.

$2^{x+1}=k$

로그의 정의에 의해 $x+1={\log }_{2}k$ 이므로 $x={\log }_{2}k-1$ 입니다.

따라서 점 D의 좌표는 $({\log }_{2}k-1,k)$ 입니다.

직선 $y=k$와 곡선 $y=2^{-x+1}$이 만나는 점 E의 $x$좌표를 구합니다.

$2^{-x+1}=k$

$-x+1={\log }_{2}k$ 이므로 $x=1-{\log }_{2}k$ 입니다.

따라서 점 E의 좌표는 $(1-{\log }_{2}k,k)$ 입니다.

step2. 점 F, G의 좌표 구하기

직선 $y=2k$와 곡선 $y=2^{x+1}$이 만나는 점 F의 $x$좌표를 구합니다.

$2^{x+1}=2k$

$x+1={\log }_2(2k)={\log }_{2}2+{\log }_{2}k=1+{\log }_{2}k$ 이므로 $x={\log }_{2}k$ 입니다.

따라서 점 F의 좌표는 $({\log }_{2}k,2k)$ 입니다.

직선 $y=2k$와 곡선 $y=2^{-x+1}$이 만나는 점 G의 $x$좌표를 구합니다.

$2^{-x+1}=2k$

$-x+1={\log }_2(2k)=1+{\log }_{2}k$ 이므로 $x=-{\log }_{2}k$ 입니다.

따라서 점 G의 좌표는 $(-{\log }_{2}k,2k)$ 입니다.

step3. 사각형 ABED의 넓이 구하기

사각형 ABED는 선분 AB와 선분 DE가 $x$축에 평행하므로 사다리꼴입니다.

선분 AB의 길이는 점 B의 $x$좌표에서 점 A의 $x$좌표를 뺀 값이므로 $1-(-1)=2$ 입니다.

선분 DE의 길이는 점 E의 $x$좌표에서 점 D의 $x$좌표를 뺀 값이므로 $(1-{\log }_{2}k)-({\log }_{2}k-1)=2-2{\log }_{2}k$ 입니다.

사다리꼴의 높이는 점 D(또는 E)의 $y$좌표에서 점 A(또는 B)의 $y$좌표를 뺀 값이므로 $k-1$ 입니다.

따라서 사각형 ABED의 넓이 $S_1$은 다음과 같습니다.

$S_1=\frac{1}{2}\times (2+2-2{\log }_{2}k)\times (k-1)=(2-{\log }_{2}k)(k-1)$

step4. 삼각형 CFG의 넓이 구하기

선분 FG를 밑변으로 하면, 길이는 점 F의 $x$좌표에서 점 G의 $x$좌표를 뺀 값이므로 ${\log }_{2}k-(-{\log }_{2}k)=2{\log }_{2}k$ 입니다.

삼각형의 높이는 점 F(또는 G)의 $y$좌표에서 점 C의 $y$좌표를 뺀 값이므로 $2k-2$ 입니다.

따라서 삼각형 CFG의 넓이 $S_2$는 다음과 같습니다.

$S_2=\frac{1}{2}\times 2{\log }_{2}k\times (2k-2)=2(k-1){\log }_{2}k$

step5. $k$의 값 구하기

사각형 ABED의 넓이와 삼각형 CFG의 넓이가 같으므로 $S_1=S_2$ 입니다.

$(2-{\log }_{2}k)(k-1)=2(k-1){\log }_{2}k$

[함정경고] 여기서 양변을 무작정 $k-1$로 나누면 안 됩니다. $k-1=0$일 가능성을 확인해야 합니다. 문제 조건에서 $1<k<2$라고 주어졌으므로 $k-1\ne 0$ 입니다. 따라서 양변을 $k-1$로 나눌 수 있습니다.

양변을 $k-1$로 나누면:

$2-{\log }_{2}k=2{\log }_{2}k$

$3{\log }_{2}k=2$

${\log }_{2}k=\frac{2}{3}$

로그의 정의에 의해 $k=2^{\frac{2}{3}}$ 입니다.

이는 보기 ④번과 일치합니다.

[정답] ④

⚡ 실전용 풀이

step1. 점 D, E 좌표

$2^{x+1}=k\Rightarrow x={\log }_{2}k-1\therefore D({\log }_{2}k-1,k)$

$2^{-x+1}=k\Rightarrow x=1-{\log }_{2}k\therefore E(1-{\log }_{2}k,k)$

step2. 점 F, G 좌표

$2^{x+1}=2k\Rightarrow x={\log }_2(2k)-1={\log }_{2}k\therefore F({\log }_{2}k,2k)$

$2^{-x+1}=2k\Rightarrow x=1-{\log }_2(2k)=-{\log }_{2}k\therefore G(-{\log }_{2}k,2k)$

step3. 사각형 ABED 넓이

$\overline{AB}=1-(-1)=2$

$\overline{DE}=(1-{\log }_{2}k)-({\log }_{2}k-1)=2-2{\log }_{2}k$

$S_1=\frac{1}{2}(2+2-2{\log }_{2}k)(k-1)=(2-{\log }_{2}k)(k-1)$

step4. 삼각형 CFG 넓이

$\overline{FG}={\log }_{2}k-(-{\log }_{2}k)=2{\log }_{2}k$

$S_2=\frac{1}{2}(2{\log }_{2}k)(2k-2)=2(k-1){\log }_{2}k$

step5. k값 계산

$S_1=S_2$

$(2-{\log }_{2}k)(k-1)=2(k-1){\log }_{2}k$

$2-{\log }_{2}k=2{\log }_{2}k(\because k>1)$

$3{\log }_{2}k=2\Rightarrow {\log }_{2}k=\frac{2}{3}$

$\therefore k=2^{\frac{2}{3}}$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

학생들은 교점의 좌표를 구할 때 $y$좌표가 $k$나 $2k$로 주어졌을 때 $x$좌표를 로그로 표현하는 과정에서 막힐 수 있습니다. 또한, 사다리꼴과 삼각형의 밑변의 길이를 구할 때 오른쪽 점의 $x$좌표에서 왼쪽 점의 $x$좌표를 빼야 하는데, 부호 실수를 하거나 어느 점이 오른쪽에 있는지 헷갈릴 수 있습니다.

🔑 돌파구

지수방정식 $a^x=b$의 해는 $x={\log }_{a}b$임을 기억하고 차분히 적용하세요. 선분의 길이를 구할 때는 그래프를 보고 $x$좌표가 더 큰 점(오른쪽 점)에서 작은 점(왼쪽 점)을 빼면 됩니다. $y=2^{-x+1}$과 같이 지수에 음수가 있는 경우 계산 실수를 주의하세요.

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