2023년 6월 학평 (고2) 수학 21번 풀이 해설 [이해용/실전용]

수학여정 - 문제 분석 리포트

2023년 6월 학평 (고2) 수학 21번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	고등학교 (삼각함수의 그래프와 최대최소)
난이도	상

🔍 이해용 풀이

문제

자연수 $n$에 대하여 $\frac{n-1}{6}\pi \le x\le \frac{n+2}{6}\pi$에서 함수 $f(x)=|\sin x-\frac{1}{2}|$의 최댓값을 $g(n)$이라 하자. 40 이하의 자연수 $k$에 대하여 $g(k)$가 무리수가 되도록 하는 모든 $k$의 값의 합은? ① 115 ② 117 ③ 119 ④ 121 ⑤ 123

1. 문제의 요지

이 문제는 주어진 구간이 이동함에 따라 절댓값을 포함한 삼각함수의 최댓값이 어떻게 변하는지 추적하여, 그 최댓값이 무리수가 되는 조건을 찾는 것을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 구간: $\frac{n-1}{6}\pi \le x\le \frac{n+2}{6}\pi$
- 함수: $f(x)=|\sin x-\frac{1}{2}|$
- $g(n)$: 위 구간에서 $f(x)$의 최댓값
- $k\le 40$인 자연수 $k$에 대해 $g(k)$가 무리수

3. 풀이의 순서

이 문제는 함수의 주기성과 극대점을 파악하여 구간별 최댓값을 직접 구하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 함수 $f(x)$의 주기와 극대점을 파악합니다.

step2. $n=1$부터 $12$까지 구간을 이동시키며 최댓값 $g(n)$을 구합니다.

step3. $g(n)$이 무리수가 되는 $n$의 패턴을 찾고, 40 이하의 $k$의 합을 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 삼각함수의 그래프: $\sin x$의 주기성과 대칭성을 이용하여 특정 구간에서의 최댓값을 구합니다.

- 절댓값 함수의 그래프: $f(x)=|\sin x-1/2|$의 개형을 파악하여 극대, 극소를 찾습니다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 구간의 길이가 $\frac{\pi }{2}$로 일정하므로, 한 주기($2\pi$) 내에서 구간을 이동시키며 최댓값의 변화를 관찰하는 것이 핵심입니다.

step1. 함수 $f(x)$의 주기와 극대점을 파악합니다.

$f(x)=|\sin x-\frac{1}{2}|$의 주기는 $2\pi$입니다.

$f(x)$의 극대점은 $\sin x=1$일 때 $x=\frac{\pi }{2}$에서 $f(x)=\frac{1}{2}$이고, $\sin x=-1$일 때 $x=\frac{3\pi }{2}$에서 $f(x)=\frac{3}{2}$입니다.

step2. $n=1$부터 $12$까지 구간을 이동시키며 최댓값 $g(n)$을 구합니다.

구간 $I_n=[\frac{n-1}{6}\pi ,\frac{n+2}{6}\pi ]$의 길이는 $\frac{\pi }{2}$입니다.

[함정경고] 구간 내에 극대점이 포함되는지 여부를 놓치기 쉽습니다. 양 끝점만 대입하여 최댓값을 구하면 틀릴 수 있으므로 반드시 극대점 포함 여부를 확인해야 합니다.

- $n=1,2,3,4$일 때: 구간 내에 $x=\frac{\pi }{2}$가 포함되거나 인접하여 최댓값은 $\frac{1}{2}$ (유리수)입니다.

- $n=5$일 때: $I_5=[\frac{2\pi }{3},\frac{7\pi }{6}]$에서 $f(x)$는 단조증가하므로 최댓값은 $f\left(\frac{7\pi }{6}\right)=1$ (유리수)입니다.

- $n=6$일 때: $I_6=[\frac{5\pi }{6},\frac{4\pi }{3}]$에서 최댓값은 $f\left(\frac{4\pi }{3}\right)=|-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}|=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$ (무리수)입니다.

- $n=7,8,9,10$일 때: 구간 내에 $x=\frac{3\pi }{2}$가 포함되어 최댓값은 $\frac{3}{2}$ (유리수)입니다.

- $n=11$일 때: $I_{11}=[\frac{5\pi }{3},\frac{13\pi }{6}]$에서 최댓값은 $f\left(\frac{5\pi }{3}\right)=|-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}|=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$ (무리수)입니다.

- $n=12$일 때: $I_{12}=[\frac{11\pi }{6},\frac{7\pi }{3}]$에서 최댓값은 $f\left(\frac{11\pi }{6}\right)=1$ (유리수)입니다.

step3. $g(n)$이 무리수가 되는 $n$의 패턴을 찾고, 40 이하의 $k$의 합을 계산합니다.

위 결과에 따라 $g(n)$이 무리수가 되는 조건은 $n\equiv 6,11\left(\mathrm{mod}12\right)$입니다.

$k\le 40$인 자연수 중 이를 만족하는 $k$는 다음과 같습니다.

$k\equiv 6\left(\mathrm{mod}12\right)$인 경우: $6,18,30$

$k\equiv 11\left(\mathrm{mod}12\right)$인 경우: $11,23,35$

따라서 모든 $k$의 값의 합은 $6+18+30+11+23+35=123$입니다.

[정답] ⑤

⚡ 실전용 풀이

step1. 주기성과 극대점 파악

$f(x)=|\sin x-1/2|$

주기는 $2\pi$.

극대점: $\sin x=1\Rightarrow x=\pi /2$에서 $f(x)=1/2$

$\sin x=-1\Rightarrow x=3\pi /2$에서 $f(x)=3/2$

step2. 구간 분석 및 $g(n)$ 계산

구간 $I_n=[\frac{n-1}{6}\pi ,\frac{n+2}{6}\pi ]$, 길이 $\frac{\pi }{2}$

$n=1~12$ 대입하여 $g(n)$ 확인:

$n=1,2,3,4$: 구간 내에 $x=\pi /2$ 포함 또는 인접 $\Rightarrow g(n)=1/2$   --- 유리수

$n=5$: $I_5=[2\pi /3,7\pi /6]\Rightarrow g(5)=f(7\pi /6)=1$   --- 유리수

$n=6$: $I_6=[5\pi /6,4\pi /3]\Rightarrow g(6)=f(4\pi /3)=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$   --- 무리수

$n=7,8,9,10$: 구간 내에 $x=3\pi /2$ 포함 $\Rightarrow g(n)=3/2$   --- 유리수

$n=11$: $I_{11}=[5\pi /3,13\pi /6]\Rightarrow g(11)=f(5\pi /3)=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$   --- 무리수

$n=12$: $I_{12}=[11\pi /6,7\pi /3]\Rightarrow g(12)=f(11\pi /6)=1$   --- 유리수

step3. 정답 도출

$g(n)$이 무리수인 조건: $n\equiv 6,11\left(\mathrm{mod}12\right)$

$k\le 40$인 $k$:

$k=6,18,30$

$k=11,23,35$

$\therefore \sum k=6+18+30+11+23+35=123$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

구간의 길이가 $\frac{\pi }{2}$로 일정하게 이동할 때, 절댓값 삼각함수의 최댓값이 어떻게 변하는지 추적하는 데 어려움을 겪을 수 있습니다. 특히 구간 내에 극대점($x=\frac{3\pi }{2}$)이 포함되는지 여부를 판단하지 못하고 양 끝점만 대입하여 최댓값을 구하는 실수를 하기 쉽습니다.

🔑 돌파구

$f(x)$의 그래프를 그리고, 극대점이 되는 $x=\frac{\pi }{2}$와 $x=\frac{3\pi }{2}$의 위치를 파악한 후, 길이가 $\frac{\pi }{2}$인 구간이 이동함에 따라 최댓값이 어떻게 변하는지 $n=1$부터 $12$까지 직접 나열하며 규칙을 찾으세요. 구간 내 극대점 포함 여부를 먼저 확인하고, 포함되지 않을 때만 양 끝점을 비교하는 것이 핵심입니다.

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