2023년 6월 학평 (고2) 수학 22번 풀이 해설 [이해용/실전용]

수학여정 - 문제 분석 리포트

2023년 6월 학평 (고2) 수학 22번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	고등학교 (지수법칙)
난이도	하

🔍 이해용 풀이

문제

22. $\sqrt[3]{{27}^2}\times 3^2$의 값을 구하시오. [3점]

1. 문제의 요지

이 문제는 거듭제곱근을 지수로 표현하고 지수법칙을 이용하여 식을 간단히 계산할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- $\sqrt[3]{{27}^2}\times 3^2$

3. 풀이의 순서

이 문제는 거듭제곱근을 분수 지수로 변환하고 밑을 통일하여 지수법칙을 적용하는 방법으로 문제를 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 밑인 27을 소인수분해하여 3의 거듭제곱으로 나타냅니다.

step2. 거듭제곱근을 지수 형태로 변환하여 식을 간단히 합니다.

step3. 지수법칙을 이용하여 최종 값을 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 거듭제곱근의 성질: $\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}$ (단, $a>0$, $m,n$은 정수, $n\ge 2$)

- 지수법칙: $a^m\times a^n=a^{m+n}$, $(a^m{)}^n=a^{mn}$ (단, $a>0$, $m,n$은 실수)

5. 구체적 풀이

step1. 밑인 27을 소인수분해하여 3의 거듭제곱으로 나타냅니다.

$27=3^3$ 이므로, ${27}^2=(3^3{)}^2$ 입니다.

지수법칙 $(a^m{)}^n=a^{mn}$에 의해 $(3^3{)}^2=3^{3\times 2}=3^6$ 이 됩니다.

step2. 거듭제곱근을 지수 형태로 변환하여 식을 간단히 합니다.

[키포인트] 거듭제곱근 기호는 분수 지수로 바꿀 수 있습니다.

$\sqrt[3]{{27}^2}=\sqrt[3]{3^6}$ 이고, 거듭제곱근의 성질 $\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}$을 이용하면,

$\sqrt[3]{3^6}=3^{\frac{6}{3}}=3^2$ 이 됩니다.

[함정경고] 여기서 분수 지수를 계산할 때 분모와 분자의 위치를 헷갈려 $3^{\frac{3}{6}}$으로 잘못 계산하지 않도록 주의해야 합니다. 근호 밖의 숫자가 분모로 갑니다.

step3. 지수법칙을 이용하여 최종 값을 계산합니다.

원래의 식에 대입하면,

$\sqrt[3]{{27}^2}\times 3^2=3^2\times 3^2$ 입니다.

지수법칙 $a^m\times a^n=a^{m+n}$을 이용하면,

$3^2\times 3^2=3^{2+2}=3^4$ 이 됩니다.

$3^4=81$ 이므로, 정답은 81입니다.

[정답] 81

⚡ 실전용 풀이

step1. 밑 변환 및 지수법칙 적용

$\sqrt[3]{{27}^2}\times 3^2$

$=\sqrt[3]{(3^3{)}^2}\times 3^2$   --- (27을 3의 세제곱으로 변환)

$=\sqrt[3]{3^6}\times 3^2$

step2. 거듭제곱근을 지수로 변환

$=3^{\frac{6}{3}}\times 3^2$   --- (거듭제곱근의 성질 이용)

$=3^2\times 3^2$

step3. 최종 계산

$=3^{2+2}$

$=3^4$

$=81$

$\therefore 81$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

거듭제곱근 기호 $\sqrt[3]{}$ 와 큰 숫자 ${27}^2$ 이 결합되어 있어, 어디서부터 손을 대야 할지 막막할 수 있습니다. 특히 밑을 통일하지 않고 그대로 계산하려다 계산 실수를 하기 쉽습니다.

🔑 돌파구

복잡한 거듭제곱근 문제는 항상 밑을 가장 작은 소수로 통일하는 것부터 시작하세요. $27$을 $3^3$으로 바꾸고, 거듭제곱근을 분수 지수로 변환하면 지수법칙만으로 간단히 해결됩니다. (팁: $\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}$ 공식을 꼭 기억하세요!)

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