2023년 6월 학평 (고2) 수학 24번 풀이 해설 [이해용/실전용]

수학여정 - 문제 분석 리포트

2023년 6월 학평 (고2) 수학 24번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	고등학교 (삼각함수)
난이도	하

🔍 이해용 풀이

문제

24. 두 함수 $y=\cos \frac{2}{3}x$와 $y=\tan \frac{3}{a}x$의 주기가 같을 때, 양수 $a$의 값을 구하시오. [3점]

1. 문제의 요지

이 문제는 삼각함수의 주기 공식을 이용하여 두 함수의 주기가 같음을 식으로 세우고 미지수를 구하는 것을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 함수 1: $y=\cos \frac{2}{3}x$
- 함수 2: $y=\tan \frac{3}{a}x$
- 두 함수의 주기가 같다.
- $a$는 양수이다.

3. 풀이의 순서

이 문제는 삼각함수의 주기 공식을 이용하여 방정식을 세우는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 코사인 함수의 주기를 구합니다.

step2. 탄젠트 함수의 주기를 구합니다.

step3. 두 주기가 같다는 방정식을 세워 양수 $a$의 값을 구합니다.

4. 풀이의 도구

- 코사인 함수의 주기: 함수 $y=\cos (bx)$의 주기는 $\frac{2\pi }{|b|}$이다.

- 탄젠트 함수의 주기: 함수 $y=\tan (cx)$의 주기는 $\frac{\pi }{|c|}$이다.

5. 구체적 풀이

step1. 코사인 함수의 주기를 구합니다.

함수 $y=\cos \frac{2}{3}x$에서 $x$의 계수는 $\frac{2}{3}$입니다.

코사인 함수의 기본 주기는 $2\pi$이므로, 이 함수의 주기는 $\frac{2\pi }{\frac{2}{3}}=3\pi$가 됩니다.

[키포인트] 삼각함수 $y=\cos (bx)$의 주기는 $\frac{2\pi }{|b|}$임을 기억해야 합니다.

step2. 탄젠트 함수의 주기를 구합니다.

함수 $y=\tan \frac{3}{a}x$에서 $x$의 계수는 $\frac{3}{a}$입니다.

탄젠트 함수의 기본 주기는 $\pi$이므로, 이 함수의 주기는 $\frac{\pi }{\left|\frac{3}{a}\right|}$가 됩니다.

문제에서 $a$가 양수라고 했으므로, 주기는 $\frac{\pi }{\frac{3}{a}}=\frac{a\pi }{3}$입니다.

[함정경고] 탄젠트 함수의 기본 주기는 $2\pi$가 아니라 $\pi$입니다. 여기서 $2\pi$로 착각하여 계산하지 않도록 주의해야 합니다.

step3. 두 주기가 같다는 방정식을 세워 양수 $a$의 값을 구합니다.

두 함수의 주기가 같으므로 다음 식이 성립합니다.

$3\pi =\frac{a\pi }{3}$

양변을 $\pi$로 나누면 $3=\frac{a}{3}$이 되고, 양변에 $3$을 곱하면 $a=9$가 됩니다.

[정답] 9

⚡ 실전용 풀이

step1. 코사인 함수의 주기

$y=\cos \frac{2}{3}x$ 의 주기 $=\frac{2\pi }{\frac{2}{3}}=3\pi$

step2. 탄젠트 함수의 주기

$y=\tan \frac{3}{a}x$ 의 주기 $=\frac{\pi }{\frac{3}{a}}=\frac{a\pi }{3}$   --- (탄젠트의 기본 주기는 $\pi$이므로)

step3. $a$ 값 계산

$3\pi =\frac{a\pi }{3}$

$3=\frac{a}{3}$

∴ $a=9$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

탄젠트 함수의 기본 주기를 $\pi$가 아닌 $2\pi$로 착각하거나, $x$의 계수로 나눌 때 번분수 계산에서 실수할 가능성이 높습니다.

🔑 돌파구

사인과 코사인의 주기는 $2\pi$, 탄젠트의 주기는 $\pi$임을 명확히 구분하여 외우고, 번분수 계산 시 분모와 분자를 헷갈리지 않도록 차분히 식을 전개하세요.

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