2023년 6월 학평 (고2) 수학 28번 풀이 해설 [이해용/실전용]

수학여정 - 문제 분석 리포트

2023년 6월 학평 (고2) 수학 28번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	고등학교 (삼각함수의 그래프와 방정식)
난이도	중상

🔍 이해용 풀이

문제

자연수 $n$에 대하여 $0\le x\le 4$ 일 때, $x$에 대한 방정식 $\sin \pi x-\frac{(-1{)}^{n+1}}{n}=0$ 의 모든 실근의 합을 $f(n)$이라 하자. $f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)$ 의 값을 구하시오.

1. 문제의 요지

이 문제는 삼각함수의 그래프의 대칭성을 이용하여 방정식의 실근의 합을 구하는 것을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- $n$은 자연수
- $0\le x\le 4$
- 방정식: $\sin \pi x-\frac{(-1{)}^{n+1}}{n}=0$
- $f(n)$은 위 방정식의 모든 실근의 합

3. 풀이의 순서

이 문제는 삼각함수 그래프의 대칭성을 이용하여 실근을 직접 구하지 않고 실근의 합을 구하는 방법으로 문제를 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 주어진 방정식을 $\sin \pi x=\frac{(-1{)}^{n+1}}{n}$ 형태로 정리하고, $y=\sin \pi x$ 그래프의 주기와 대칭성을 파악합니다.

step2. $n=1$일 때, 방정식의 실근을 직접 구하여 $f(1)$을 계산합니다.

step3. $n$이 짝수일 때, 우변이 음수가 되므로 그래프의 대칭성을 이용하여 실근의 합 $f(n)$을 계산합니다.

step4. $n$이 홀수($n\ge 3$)일 때, 우변이 양수가 되므로 그래프의 대칭성을 이용하여 실근의 합 $f(n)$을 계산합니다.

step5. 구한 $f(1),f(2),f(3),f(4),f(5)$의 값을 모두 더하여 최종 정답을 도출합니다.

4. 풀이의 도구

- 삼각함수의 주기와 대칭성: $y=\sin ax$ 의 주기는 $\frac{2\pi }{|a|}$ 이며, 각 주기 내에서 최댓값과 최솟값을 가지는 $x$ 좌표에 대해 선대칭 도형의 성질을 가집니다.

5. 구체적 풀이

step1. 주어진 방정식 $\sin \pi x-\frac{(-1{)}^{n+1}}{n}=0$ 을 정리하면 $\sin \pi x=\frac{(-1{)}^{n+1}}{n}$ 입니다.

$y=\sin \pi x$ 의 주기는 $\frac{2\pi }{\pi }=2$ 입니다.

$0\le x\le 4$ 구간에는 주기가 2번 반복됩니다.

그래프는 $x=\frac{1}{2}$ 과 $x=\frac{5}{2}$ 에서 최댓값 $1$을 가지고, $x=\frac{3}{2}$ 과 $x=\frac{7}{2}$ 에서 최솟값 $-1$을 가집니다.

[키포인트] 삼각방정식의 모든 실근의 합을 구할 때는 실근을 직접 구하는 것이 아니라, 그래프의 대칭축을 이용하여 두 근의 합을 구하는 것이 핵심입니다.

step2. $n=1$ 일 때,

$\sin \pi x=\frac{(-1{)}^2}{1}=1$ 입니다.

$0\le x\le 4$ 에서 $\sin \pi x=1$ 을 만족하는 $x$ 는 최댓값을 가지는 지점이므로 $x=\frac{1}{2},\frac{5}{2}$ 입니다.

따라서 $f(1)=\frac{1}{2}+\frac{5}{2}=3$ 입니다.

step3. $n=2,4$ (짝수) 일 때,

$n=2$ 이면 $\sin \pi x=-\frac{1}{2}$, $n=4$ 이면 $\sin \pi x=-\frac{1}{4}$ 입니다.

우변이 음수이므로, 교점은 $1\le x\le 2$ 구간과 $3\le x\le 4$ 구간에 각각 2개씩 존재합니다.

$1\le x\le 2$ 구간의 두 근은 대칭축 $x=\frac{3}{2}$ 에 대하여 대칭이므로 두 근의 합은 $2\times \frac{3}{2}=3$ 입니다.

$3\le x\le 4$ 구간의 두 근은 대칭축 $x=\frac{7}{2}$ 에 대하여 대칭이므로 두 근의 합은 $2\times \frac{7}{2}=7$ 입니다.

따라서 $f(2)=3+7=10$, $f(4)=3+7=10$ 입니다.

[함정경고] 우변이 음수일 때 교점이 발생하는 구간을 $0\le x\le 1$ 로 착각하기 쉽습니다. $\sin$ 그래프가 음수가 되는 구간을 정확히 파악해야 합니다.

step4. $n=3,5$ (홀수) 일 때,

$n=3$ 이면 $\sin \pi x=\frac{1}{3}$, $n=5$ 이면 $\sin \pi x=\frac{1}{5}$ 입니다.

우변이 $0$과 $1$ 사이의 양수이므로, 교점은 $0\le x\le 1$ 구간과 $2\le x\le 3$ 구간에 각각 2개씩 존재합니다.

$0\le x\le 1$ 구간의 두 근은 대칭축 $x=\frac{1}{2}$ 에 대하여 대칭이므로 두 근의 합은 $2\times \frac{1}{2}=1$ 입니다.

$2\le x\le 3$ 구간의 두 근은 대칭축 $x=\frac{5}{2}$ 에 대하여 대칭이므로 두 근의 합은 $2\times \frac{5}{2}=5$ 입니다.

따라서 $f(3)=1+5=6$, $f(5)=1+5=6$ 입니다.

step5. 구하는 값은 $f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)$ 이므로,

$3+10+6+10+6=35$ 입니다.

[정답] 35

⚡ 실전용 풀이

step1. 방정식 정리 및 주기 파악

$\sin \pi x=\frac{(-1{)}^{n+1}}{n}$

주기 $T=\frac{2\pi }{\pi }=2$

$0\le x\le 4$ 에서 2주기 포함

step2. $n=1$ 일 때

$\sin \pi x=1$

$x=\frac{1}{2},\frac{5}{2}$

$f(1)=\frac{1}{2}+\frac{5}{2}=3$

step3. $n=2,4$ 일 때

$\sin \pi x=-\frac{1}{2}$ 또는 $-\frac{1}{4}$   --- (우변이 음수이므로 $1\le x\le 2$, $3\le x\le 4$ 에서 교점 발생)

$1\le x\le 2$ 구간 대칭축 $x=\frac{3}{2}\Rightarrow$ 두 근의 합 $=2\times \frac{3}{2}=3$

$3\le x\le 4$ 구간 대칭축 $x=\frac{7}{2}\Rightarrow$ 두 근의 합 $=2\times \frac{7}{2}=7$

$f(2)=f(4)=3+7=10$

step4. $n=3,5$ 일 때

$\sin \pi x=\frac{1}{3}$ 또는 \frac{1}{5}   --- (우변이 양수이므로 $0\le x\le 1$, $2\le x\le 3$ 에서 교점 발생)

$0\le x\le 1$ 구간 대칭축 $x=\frac{1}{2}\Rightarrow$ 두 근의 합 $=2\times \frac{1}{2}=1$

$2\le x\le 3$ 구간 대칭축 $x=\frac{5}{2}\Rightarrow$ 두 근의 합 $=2\times \frac{5}{2}=5$

$f(3)=f(5)=1+5=6$

step5. 최종 계산

$f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=3+10+6+10+6=35$

$\therefore 35$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

삼각방정식 $\sin \pi x=k$ 의 해를 직접 구하려고 시도하다가 특수각이 아닌 경우(예: $k=1/3$)에서 막힐 수 있습니다. 또한 $n$의 값에 따라 우변의 부호가 바뀌는 것을 놓치거나, 구간별로 대칭축을 잘못 파악하여 근의 합을 틀리게 계산할 수 있습니다.

🔑 돌파구

삼각방정식의 실근의 합 문제는 근을 직접 구하는 것이 아니라 그래프의 선대칭성을 이용하여 '대칭축 $\times 2$'로 두 근의 합을 구해야 합니다. $y=\sin \pi x$ 그래프를 $0\le x\le 4$ 범위에서 그리고, 양수 $k$와 음수 $k$에 대해 교점이 어느 구간에 생기는지, 그 구간의 대칭축이 무엇인지 시각적으로 확인하세요. (팁: 삼각함수 실근의 합은 항상 대칭축을 찾으세요!)

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