2023년 6월 학평 (고2) 수학 29번 풀이 해설 [이해용/실전용]

수학여정 - 문제 분석 리포트

2023년 6월 학평 (고2) 수학 29번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	고등학교 (삼각함수의 활용)
난이도	상

🔍 이해용 풀이

문제

그림과 같이 $\overline{AB}=\overline{AC}=1$, $\angle BAC=\frac{\pi }{2}$ 인 삼각형 ABC 모양의 종이가 있다. 선분 BC 위의 점 D, 선분 AB 위의 점 E, 선분 AC 위의 점 F에 대하여 선분 EF를 접는 선으로 하여 점 A가 점 D와 겹쳐지도록 접었다. 삼각형 BDE와 삼각형 DCF의 외접원의 반지름의 길이의 비가 2:1 일 때, 선분 DF의 길이는 $\frac{q}{p}$ 이다. $p+q$의 값을 구하시오. (단, 종이의 두께는 고려하지 않으며, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.)

1. 문제의 요지

이 문제는 종이 접기의 성질(합동)과 사인법칙을 이용하여 두 삼각형의 외접원 반지름 비 조건을 변의 길이 비로 변환하고, 코사인법칙을 통해 미지수를 구하는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- $\overline{AB}=\overline{AC}=1$
- $\angle BAC=\frac{\pi }{2}$
- 점 D는 선분 BC 위의 점
- 점 E는 선분 AB 위의 점
- 점 F는 선분 AC 위의 점
- 선분 EF를 접는 선으로 하여 점 A가 점 D와 겹쳐짐
- 삼각형 BDE의 외접원 반지름 : 삼각형 DCF의 외접원 반지름 = 2 : 1
- $\overline{DF}=\frac{q}{p}$ ($p,q$는 서로소인 자연수)

3. 풀이의 순서

이 문제는 종이 접기의 성질과 사인법칙을 이용하여 변의 길이를 미지수로 표현하고, 삼각함수의 성질을 이용하여 방정식을 세워 푸는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 종이 접기의 성질을 이용하여 $△AEF$와 $△DEF$가 합동임을 파악하고, 대응하는 변의 길이와 각의 크기가 같음을 확인합니다.

step2. $△BDE$와 $△DCF$에 사인법칙을 적용하여 외접원 반지름의 비를 변의 길이의 비로 변환합니다.

step3. $\overline{AF}=x$로 두고, 관련된 선분들의 길이를 $x$에 대한 식으로 나타냅니다.

step4. 점 D 주변의 각도 관계를 이용하여 $\angle BDE$와 $\angle CDF$의 관계를 찾고, 사인법칙을 다시 적용하여 삼각비의 값을 $x$로 표현합니다.

step5. ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$ 성질을 이용하여 $x$에 대한 방정식을 세우고 풀어 $\overline{DF}$의 길이를 구합니다.

4. 풀이의 도구

- 종이 접기의 성질: 접은 선을 축으로 하여 겹쳐지는 두 도형은 서로 합동이다.

- 사인법칙: 삼각형 ABC에서 외접원의 반지름을 $R$이라 할 때, $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$ 이 성립한다.

- 삼각함수의 관계: ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$, $\sin (\frac{\pi }{2}-\theta )=\cos \theta$

5. 구체적 풀이

[키포인트] 종이를 접었을 때 겹치는 부분은 합동이므로, $△AEF\equiv △DEF$임을 파악하는 것이 문제 해결의 첫걸음입니다. 또한, 외접원의 반지름 비가 주어졌을 때는 사인법칙을 떠올려야 합니다.

step1. 종이 접기의 성질을 이용합니다.

선분 EF를 접는 선으로 하여 점 A가 점 D와 겹쳐졌으므로, $△AEF$와 $△DEF$는 서로 합동입니다.

따라서 대응하는 변의 길이와 각의 크기가 같습니다.

$\overline{AE}=\overline{DE}$, $\overline{AF}=\overline{DF}$

$\angle EDF=\angle EAF=\frac{\pi }{2}$

step2. 사인법칙을 이용하여 변의 길이 비를 구합니다.

$△ABC$는 $\overline{AB}=\overline{AC}=1$, $\angle A=\frac{\pi }{2}$인 직각이등변삼각형이므로 $\angle B=\angle C=\frac{\pi }{4}$ 입니다.

$△BDE$의 외접원 반지름을 $R_1$, $△DCF$의 외접원 반지름을 $R_2$라 하면, 조건에서 $R_1:R_2=2:1$ 이므로 $R_1=2R_2$ 입니다.

$△BDE$에서 사인법칙을 적용하면, $\frac{\overline{DE}}{\sin B}=2R_1$ 입니다.

$△DCF$에서 사인법칙을 적용하면, $\frac{\overline{DF}}{\sin C}=2R_2$ 입니다.

$\angle B=\angle C$ 이므로 $\sin B=\sin C$ 입니다.

따라서 $\overline{DE}=2R_1\sin B=2(2R_2)\sin C=4R_2\sin C=2(2R_2\sin C)=2\overline{DF}$ 가 성립합니다.

즉, $\overline{DE}=2\overline{DF}$ 입니다.

step1. 에서 $\overline{AE}=\overline{DE}$, $\overline{AF}=\overline{DF}$ 임을 알았으므로, $\overline{AE}=2\overline{AF}$ 입니다.

step3. 변의 길이를 미지수 $x$로 표현합니다.

$\overline{AF}=x$ 라 하면, $\overline{AE}=2x$ 입니다.

그러면 $\overline{BE}=\overline{AB}-\overline{AE}=1-2x$ 이고, $\overline{CF}=\overline{AC}-\overline{AF}=1-x$ 입니다.

또한 $\overline{DE}=2x$, $\overline{DF}=x$ 입니다.

step4. 각도 관계와 사인법칙을 이용하여 삼각비를 $x$로 표현합니다.

$\angle BDE=\alpha$, $\angle CDF=\beta$ 라 합시다.

점 D는 선분 BC 위의 점이므로 평각을 이루어 $\angle BDE+\angle EDF+\angle CDF=\pi$ 입니다.

$\angle EDF=\frac{\pi }{2}$ 이므로 $\alpha +\frac{\pi }{2}+\beta =\pi$, 즉 $\alpha +\beta =\frac{\pi }{2}$ 입니다.

따라서 $\beta =\frac{\pi }{2}-\alpha$ 입니다.

$△BDE$에서 사인법칙을 적용하면:

$\frac{\overline{DE}}{\sin B}=\frac{\overline{BE}}{\sin \alpha }\Rightarrow \frac{2x}{\sin (\frac{\pi }{4})}=\frac{1-2x}{\sin \alpha }\Rightarrow \frac{2x}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{1-2x}{\sin \alpha }\Rightarrow 2\sqrt{2}x=\frac{1-2x}{\sin \alpha }$

따라서 $\sin \alpha =\frac{1-2x}{2\sqrt{2}x}$ 입니다.

$△DCF$에서 사인법칙을 적용하면:

$\frac{\overline{DF}}{\sin C}=\frac{\overline{CF}}{\sin \beta }\Rightarrow \frac{x}{\sin (\frac{\pi }{4})}=\frac{1-x}{\sin \beta }\Rightarrow \frac{x}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{1-x}{\sin \beta }\Rightarrow \sqrt{2}x=\frac{1-x}{\sin \beta }$

따라서 $\sin \beta =\frac{1-x}{\sqrt{2}x}$ 입니다.

이때 $\beta =\frac{\pi }{2}-\alpha$ 이므로 $\sin \beta =\sin (\frac{\pi }{2}-\alpha )=\cos \alpha$ 입니다.

즉, $\cos \alpha =\frac{1-x}{\sqrt{2}x}$ 입니다.

[함정경고] 여기서 $\overline{BD}$와 $\overline{CD}$의 길이를 구하여 코사인법칙을 쓰려고 하면 계산이 매우 복잡해집니다. 각도의 합이 $\frac{\pi }{2}$임을 이용하여 $\sin$과 $\cos$의 관계로 연결하는 것이 핵심입니다.

step5. 방정식을 세워 $x$를 구합니다.

삼각함수의 기본 성질인 ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$ 에 대입합니다.

${\left(\frac{1-2x}{2\sqrt{2}x}\right)}^2+{\left(\frac{1-x}{\sqrt{2}x}\right)}^2=1$

$\frac{(1-2x{)}^2}{8x^2}+\frac{(1-x{)}^2}{2x^2}=1$

$\frac{1-4x+4x^2}{8x^2}+\frac{1-2x+x^2}{2x^2}=1$

양변에 $8x^2$을 곱하여 분모를 없앱니다.

$(1-4x+4x^2)+4(1-2x+x^2)=8x^2$

$1-4x+4x^2+4-8x+4x^2=8x^2$

$8x^2-12x+5=8x^2$

$-12x+5=0$

$12x=5\Rightarrow x=\frac{5}{12}$

우리가 구하고자 하는 선분 DF의 길이는 $x$이므로 $\overline{DF}=\frac{5}{12}$ 입니다.

따라서 $p=12,q=5$ 이고, $p$와 $q$는 서로소인 자연수 조건을 만족합니다.

최종적으로 $p+q=12+5=17$ 입니다.

[정답] 17

⚡ 실전용 풀이

step1. 합동 조건

$△AEF\equiv △DEF$ 이므로

$\overline{AE}=\overline{DE}$, $\overline{AF}=\overline{DF}$, $\angle EDF=\frac{\pi }{2}$

step2. 사인법칙 적용

$R_1:R_2=2:1\Rightarrow R_1=2R_2$

$\frac{\overline{DE}}{\sin B}=2R_1$, $\frac{\overline{DF}}{\sin C}=2R_2$

$\angle B=\angle C=\frac{\pi }{4}$ 이므로 $\sin B=\sin C$

$\overline{DE}=2R_1\sin B=4R_2\sin C=2\overline{DF}$

$\therefore \overline{AE}=2\overline{AF}$

step3. 미지수 설정

$\overline{AF}=x$ 라 하면 $\overline{AE}=2x$

$\overline{BE}=1-2x$, $\overline{CF}=1-x$

$\overline{DE}=2x$, $\overline{DF}=x$

step4. 각도 관계

$\angle BDE=\alpha$, $\angle CDF=\beta$ 라 하면

$\alpha +\beta =\frac{\pi }{2}\Rightarrow \beta =\frac{\pi }{2}-\alpha$

$△BDE$에서 $\frac{2x}{\sin (\pi /4)}=\frac{1-2x}{\sin \alpha }\Rightarrow \sin \alpha =\frac{1-2x}{2\sqrt{2}x}$

$△DCF$에서 $\frac{x}{\sin (\pi /4)}=\frac{1-x}{\sin \beta }\Rightarrow \sin \beta =\frac{1-x}{\sqrt{2}x}$

$\sin \beta =\cos \alpha$ 이므로 $\cos \alpha =\frac{1-x}{\sqrt{2}x}$

step5. 방정식 풀이

${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$ 에 대입

$\frac{(1-2x{)}^2}{8x^2}+\frac{(1-x{)}^2}{2x^2}=1$

$1-4x+4x^2+4(1-2x+x^2)=8x^2$

$8x^2-12x+5=8x^2$

$12x=5\Rightarrow x=\frac{5}{12}$

$\overline{DF}=x=\frac{5}{12}$

∴ $p=12,q=5\Rightarrow p+q=17$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

학생들은 외접원의 반지름 비가 주어졌을 때 이를 어떻게 변의 길이로 연결할지 몰라 막힐 수 있습니다. 또한, $\overline{BD}$와 $\overline{CD}$의 길이를 직접 구하려다 복잡한 계산에 빠져 포기하기 쉽습니다.

🔑 돌파구

외접원 반지름 조건은 '사인법칙'을 사용하라는 강력한 힌트입니다. 사인법칙으로 $\overline{DE}$와 $\overline{DF}$의 비율을 찾고, 점 D 주변의 세 각의 합이 ${180}^{\circ }$임을 이용하여 두 각을 $\alpha$와 ${90}^{\circ }-\alpha$로 두어 ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$을 활용하세요. 각도 관계를 삼각비로 연결하는 것이 기하 문제의 핵심 팁입니다.

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