2025년 5월 학력평가 (고3) 수학 19번

수학여정 - 문제 분석 리포트

2025년 5월 학력평가 (고3) 수학 19번
문제의 분류	고등학교 (수학 II - 미분)
난이도	중

🔍 이해용 풀이

문제

최고차항의 계수가 1인 삼차함수 $f(x)$에 대하여 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(0,1)$에서의 접선이 곡선 $y=f(x)$와 점 $(1,0)$에서 만난다. $f(3)$의 값을 구하시오.

1. 문제의 요지

이 문제는 삼차함수의 접선의 방정식과 교점의 조건을 이용하여 삼차함수의 식을 결정하고, 특정 함숫값을 구할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 최고차항의 계수가 1인 삼차함수 $f(x)$
- 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(0,1)$에서의 접선이 곡선 $y=f(x)$와 점 $(1,0)$에서 만남

3. 풀이의 순서

이 문제는 접선의 방정식을 구하고, 함수와 접선의 교점 조건을 이용하여 미정계수를 결정하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 점 $(0,1)$과 점 $(1,0)$을 지나는 접선의 방정식을 구합니다.

step2. $f(0)$과 $f^{\prime }(0)$의 값을 이용하여 $f(x)$의 식을 일부 결정합니다.

step3. 점 $(1,0)$이 곡선 위의 점임을 이용하여 남은 미정계수를 구하고 $f(x)$를 완성합니다.

step4. 완성된 $f(x)$에 $x=3$을 대입하여 정답을 도출합니다.

4. 풀이의 도구

- 접선의 방정식: 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(a,f(a))$에서의 접선의 방정식은 $y-f(a)=f^{\prime }(a)(x-a)$이다.

- 다항함수의 미분법: $f(x)=x^n$이면 $f^{\prime }(x)=n{x}^{n-1}$이다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 곡선 위의 한 점에서의 접선이 다른 한 점을 지난다는 것은, 두 점을 연결한 직선이 바로 그 접선이라는 의미입니다.

step1. 점 $(0,1)$에서의 접선이 점 $(1,0)$을 지난다고 했습니다.

따라서 이 접선은 두 점 $(0,1)$과 $(1,0)$을 지나는 직선입니다.

이 직선의 기울기는 $\frac{0-1}{1-0}=-1$이고, $y$절편이 $1$이므로 접선의 방정식은 $y=-x+1$이 됩니다.

step2. $f(x)$는 최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수이므로 $f(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$로 둘 수 있습니다.

점 $(0,1)$이 곡선 $y=f(x)$ 위의 점이므로 $f(0)=1$입니다. 따라서 $c=1$입니다.

또한, 점 $(0,1)$에서의 접선의 기울기가 $-1$이므로 $f^{\prime }(0)=-1$입니다.

$f^{\prime }(x)=3x^2+2ax+b$에서 $f^{\prime }(0)=b=-1$입니다.

이를 종합하면 $f(x)=x^3+a{x}^2-x+1$이 됩니다.

[함정경고] 접선이 점 $(1,0)$에서 곡선과 만난다는 조건을 단순히 접선이 $(1,0)$을 지난다는 것으로만 해석하고, 곡선 $y=f(x)$도 $(1,0)$을 지난다는 사실을 놓치기 쉽습니다.

step3. 접선이 곡선과 점 $(1,0)$에서 만나므로, 점 $(1,0)$은 곡선 $y=f(x)$ 위의 점이기도 합니다.

따라서 $f(1)=0$이 성립해야 합니다.

$f(1)=1^3+a·1^2-1+1=a+1=0$이므로, $a=-1$입니다.

결과적으로 삼차함수 $f(x)$는 $f(x)=x^3-x^2-x+1$로 확정됩니다.

step4. 구하고자 하는 값은 $f(3)$이므로, 완성된 식에 $x=3$을 대입합니다.

$f(3)=3^3-3^2-3+1=27-9-3+1=16$입니다.

[정답] 16

⚡ 실전용 풀이

step1. 접선의 방정식

접선은 $(0,1),(1,0)$을 지남

기울기 = $\frac{0-1}{1-0}=-1$

접선: $y=-x+1$

step2. $f(x)$ 식 세우기

$f(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$

$f(0)=1⟹c=1$

$f^{\prime }(0)=-1⟹b=-1$

$f(x)=x^3+a{x}^2-x+1$

step3. 미정계수 $a$ 구하기

곡선이 $(1,0)$을 지나므로

$f(1)=1+a-1+1=0$

$a=-1$

$\therefore f(x)=x^3-x^2-x+1$

step4. 정답 도출

$f(3)=27-9-3+1=16$

$\therefore 16$

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