(2024학년도) 2023년 6월 모평 고3 수학 5번 풀이 해설 [이해용/실전용]

수학여정 - 문제 분석 리포트

(2024학년도) 2023년 6월 모평 고3 수학 5번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	고등학교 (미분법)
난이도	하

🔍 이해용 풀이

문제

다항함수 $f(x)$에 대하여 함수 $g(x)$를 $g(x)=(x^3+1)f(x)$ 라 하자. $f(1)=2,f^{\prime }(1)=3$ 일 때, $g^{\prime }(1)$의 값은? [3점] ① 12 ② 14 ③ 16 ④ 18 ⑤ 20

1. 문제의 요지

이 문제는 곱의 미분법을 이용하여 주어진 함수의 미분계수를 구할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- g(x) = (x³ + 1)f(x)
- f(1) = 2
- f'(1) = 3

3. 풀이의 순서

이 문제는 곱의 미분법을 이용하여 도함수를 구하고 미분계수를 계산하는 방법으로 문제를 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 곱의 미분법을 이용하여 $g^{\prime }(x)$를 구합니다.

step2. 구한 $g^{\prime }(x)$에 $x=1$을 대입하여 식을 정리합니다.

step3. 주어진 $f(1)$과 $f^{\prime }(1)$의 값을 대입하여 $g^{\prime }(1)$의 값을 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 곱의 미분법: 두 함수 $u(x),v(x)$가 미분가능할 때, $\{u(x)v(x){\}}^{\prime }=u^{\prime }(x)v(x)+u(x)v^{\prime }(x)$ 이다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 두 함수의 곱으로 이루어진 함수를 미분할 때는 반드시 곱의 미분법을 사용해야 합니다.

step1. 곱의 미분법을 이용하여 $g^{\prime }(x)$를 구합니다.

주어진 함수 $g(x)=(x^3+1)f(x)$의 양변을 $x$에 대하여 미분합니다.

곱의 미분법에 의해 앞의 식을 미분하고 뒤의 식을 곱한 것과, 앞의 식을 곱하고 뒤의 식을 미분한 것을 더해줍니다.

$g^{\prime }(x)=(x^3+1{)}^{\prime }f(x)+(x^3+1)f^{\prime }(x)$

$g^{\prime }(x)=3x^{2}f(x)+(x^3+1)f^{\prime }(x)$

[함정경고] 여기서 $(x^3+1)f(x)$를 미분할 때, 각각을 미분하여 $3x^2{f}^{\prime }(x)$로 착각하기 쉽습니다. 반드시 곱의 미분법을 적용해야 합니다.

step2. 구한 $g^{\prime }(x)$에 $x=1$을 대입하여 식을 정리합니다.

$g^{\prime }(1)=3(1{)}^{2}f(1)+(1^3+1)f^{\prime }(1)$

$g^{\prime }(1)=3f(1)+2f^{\prime }(1)$

step3. 주어진 $f(1)$과 $f^{\prime }(1)$의 값을 대입하여 $g^{\prime }(1)$의 값을 계산합니다.

문제에서 $f(1)=2,f^{\prime }(1)=3$이라고 주어졌으므로, 이를 대입합니다.

$g^{\prime }(1)=3\times 2+2\times 3$

$g^{\prime }(1)=6+6=12$

따라서 $g^{\prime }(1)$의 값은 12이며, 정답은 ①번입니다.

[정답] ①

⚡ 실전용 풀이

step1. $g^{\prime }(x)$ 구하기

$g(x)=(x^3+1)f(x)$

$g^{\prime }(x)=3x^{2}f(x)+(x^3+1)f^{\prime }(x)$   --- (곱의 미분법 이용)

step2. $x=1$ 대입

$g^{\prime }(1)=3(1{)}^{2}f(1)+(1^3+1)f^{\prime }(1)$

$g^{\prime }(1)=3f(1)+2f^{\prime }(1)$

step3. 값 계산

$g^{\prime }(1)=3(2)+2(3)$   --- (주어진 조건 대입)

$g^{\prime }(1)=6+6=12$

$\therefore ①$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

두 함수의 곱으로 표현된 $g(x)$를 미분할 때 곱의 미분법을 떠올리지 못하고 각각 미분하여 곱하는 실수를 할 수 있습니다. 미분 후 $x=1$을 대입하는 과정에서 단순 계산 실수가 발생할 수 있습니다.

🔑 돌파구

$g(x)$가 $(x^3+1)$과 $f(x)$의 곱으로 이루어져 있으므로, $\{u(x)v(x){\}}^{\prime }=u^{\prime }(x)v(x)+u(x)v^{\prime }(x)$ 공식을 정확히 적용하여 도함수를 구합니다. 미분한 식에 $x=1$을 대입한 후, 문제에 주어진 $f(1)$과 $f^{\prime }(1)$의 값을 차분히 대입하여 계산을 마무리합니다. (팁: 곱의 미분법은 '앞 미분 뒤 그대로 + 앞 그대로 뒤 미분'으로 기억하면 편리합니다.)

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