(2024학년도) 2023년 6월 모평 고3 수학 6번 풀이 해설 [이해용/실전용]

수학여정 - 문제 분석 리포트

(2024학년도) 2023년 6월 모평 고3 수학 6번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	고등학교 (삼각함수)
난이도	하

🔍 이해용 풀이

문제

$\cos \theta <0$이고 $\sin (-\theta )=\frac{1}{7}\cos \theta$일 때, $\sin \theta$의 값은? ① $-\frac{3\sqrt{2}}{10}$ ② $-\frac{\sqrt{2}}{10}$ ③ 0 ④ $\frac{\sqrt{2}}{10}$ ⑤ $\frac{3\sqrt{2}}{10}$

1. 문제의 요지

이 문제는 삼각함수의 음각 공식과 제곱 관계를 이용하여 특정 삼각함수의 값을 구할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- $\cos \theta <0$
- $\sin (-\theta )=\frac{1}{7}\cos \theta$

3. 풀이의 순서

이 문제는 삼각함수의 음각 공식과 제곱 관계를 이용하여 삼각함수의 값을 구하는 방법으로 문제를 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 음각 공식을 이용하여 주어진 식을 $\sin \theta$와 $\cos \theta$의 관계로 정리합니다.

step2. $\cos \theta <0$ 조건을 이용하여 $\sin \theta$의 부호를 결정합니다.

step3. 삼각함수의 제곱 관계(${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$)를 이용하여 $\sin \theta$의 값을 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 삼각함수의 음각 공식: $\sin (-\theta )=-\sin \theta$

- 삼각함수의 제곱 관계: ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$

5. 구체적 풀이

[키포인트] 삼각함수의 음각 공식 $\sin (-\theta )=-\sin \theta$를 이용하여 식을 간단히 하고, ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$을 활용하여 값을 구하는 것이 핵심입니다.

step1. 음각 공식을 이용하여 주어진 식을 $\sin \theta$와 $\cos \theta$의 관계로 정리합니다.

주어진 조건에서 $\sin (-\theta )=\frac{1}{7}\cos \theta$ 입니다.

삼각함수의 음각 공식에 의해 $\sin (-\theta )=-\sin \theta$ 이므로,

$-\sin \theta =\frac{1}{7}\cos \theta$ 가 됩니다.

양변에 $-1$을 곱하면 $\sin \theta =-\frac{1}{7}\cos \theta$ 입니다.

step2. $\cos \theta <0$ 조건을 이용하여 $\sin \theta$의 부호를 결정합니다.

문제에서 $\cos \theta <0$ 이라고 주어졌습니다.

$\sin \theta =-\frac{1}{7}\cos \theta$ 이므로, 우변은 $-\frac{1}{7}\times (\text{음수})$ 가 되어 양수가 됩니다.

따라서 $\sin \theta >0$ 임을 알 수 있습니다.

[함정경고] 여기서 $\sin \theta$의 부호를 미리 확인하지 않으면, 마지막에 제곱근을 풀 때 양수인지 음수인지 결정하지 못해 오답을 고를 수 있으니 주의해야 합니다.

step3. 삼각함수의 제곱 관계(${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$)를 이용하여 $\sin \theta$의 값을 계산합니다.

$\sin \theta =-\frac{1}{7}\cos \theta$ 의 양변에 $-7$을 곱하면 $\cos \theta =-7\sin \theta$ 입니다.

이를 ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$ 에 대입합니다.

${\sin }^2\theta +(-7\sin \theta {)}^2=1$

${\sin }^2\theta +49{\sin }^2\theta =1$

$50{\sin }^2\theta =1$

${\sin }^2\theta =\frac{1}{50}$

step2. 에서 $\sin \theta >0$ 임을 확인했으므로,

$\sin \theta =\sqrt{\frac{1}{50}}=\frac{1}{\sqrt{50}}=\frac{1}{5\sqrt{2}}$ 입니다.

분모를 유리화하면 $\sin \theta =\frac{\sqrt{2}}{10}$ 이 됩니다.

따라서 정답은 ④입니다.

[정답] ④

⚡ 실전용 풀이

step1. 식 정리

$\sin (-\theta )=\frac{1}{7}\cos \theta$

$-\sin \theta =\frac{1}{7}\cos \theta$   --- (음각 공식 이용)

$\cos \theta =-7\sin \theta$

step2. 부호 결정

$\cos \theta <0$ 이므로

$\sin \theta =-\frac{1}{7}\cos \theta >0$

step3. 값 계산

${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$   --- (제곱 관계 대입)

${\sin }^2\theta +(-7\sin \theta {)}^2=1$

$50{\sin }^2\theta =1$

${\sin }^2\theta =\frac{1}{50}$

$\sin \theta >0$ 이므로

$\sin \theta =\frac{1}{\sqrt{50}}=\frac{\sqrt{2}}{10}$

$\therefore 정답④$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

$\sin (-\theta )$를 어떻게 처리해야 할지 몰라 식을 변형하지 못할 수 있습니다. 또한 ${\sin }^2\theta =\frac{1}{50}$까지 구한 후, $\sin \theta$가 양수인지 음수인지 판단하는 과정에서 $\cos \theta <0$ 조건을 활용하지 못해 부호 결정에 어려움을 겪을 수 있습니다.

🔑 돌파구

삼각함수의 음각 공식인 $\sin (-\theta )=-\sin \theta$를 떠올려 식을 $\sin \theta$와 $\cos \theta$에 대한 식으로 통일합니다. 이후 $\sin \theta =-\frac{1}{7}\cos \theta$ 식에 $\cos \theta <0$을 대입하여 $\sin \theta$의 부호가 양수임을 먼저 확정 짓습니다. 삼각함수 값 하나를 알 때 다른 값을 구하는 문제는 항상 ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$과 사분면(부호) 조건을 세트로 떠올리세요.

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