(2024학년도) 2023년 6월 모평 고3 수학 7번 풀이 해설 [이해용/실전용]

수학여정 - 문제 분석 리포트

(2024학년도) 2023년 6월 모평 고3 수학 7번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	고등학교 (로그함수)
난이도	중하

🔍 이해용 풀이

문제

상수 $a(a>2)$에 대하여 함수 $y={\log }_2(x-a)$의 그래프의 점근선이 두 곡선 $y={\log }_2\frac{x}{4}$, $y={\log }_{\frac{1}{2}}x$와 만나는 점을 각각 A, B라 하자. $\overline{AB}=4$일 때, $a$의 값은? ① 4 ② 6 ③ 8 ④ 10 ⑤ 12

1. 문제의 요지

이 문제는 로그함수의 점근선을 구하고, 점근선과 다른 로그함수 그래프의 교점의 좌표를 구하여 두 점 사이의 거리를 이용해 미지수를 구하는 것을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 상수 $a>2$
- 함수 $y={\log }_2(x-a)$의 점근선이 존재
- 점근선과 곡선 $y={\log }_2\frac{x}{4}$가 만나는 점 A
- 점근선과 곡선 $y={\log }_{\frac{1}{2}}x$가 만나는 점 B
- $\overline{AB}=4$

3. 풀이의 순서

이 문제는 로그함수의 점근선의 방정식을 구하고, 교점의 y좌표 차이를 이용하여 미지수를 구하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 주어진 로그함수의 점근선의 방정식을 구합니다.

step2. 점근선과 두 곡선이 만나는 점 A, B의 y좌표를 각각 구합니다.

step3. 두 점 A, B의 y좌표의 차이를 이용하여 선분 AB의 길이를 식으로 나타내고, 주어진 조건 $\overline{AB}=4$를 이용하여 $a$의 값을 구합니다.

4. 풀이의 도구

- 로그함수의 점근선: 함수 $y={\log }_c(x-p)+q$의 점근선은 진수가 0이 되는 직선 $x=p$이다.

- 로그의 성질: ${\log }_c\frac{x}{y}={\log }_{c}x-{\log }_{c}y$, ${\log }_{c^n}x=\frac{1}{n}{\log }_{c}x$

5. 구체적 풀이

step1. 함수 $y={\log }_2(x-a)$의 점근선은 진수가 0이 되는 $x$의 값이므로, 점근선의 방정식은 $x=a$입니다.

step2. 직선 $x=a$가 두 곡선과 만나는 점 A, B의 좌표를 구합니다.

점 A는 곡선 $y={\log }_2\frac{x}{4}$ 위의 점이므로, $x=a$를 대입하면 $y={\log }_2\frac{a}{4}={\log }_{2}a-{\log }_{2}4={\log }_{2}a-2$입니다. 따라서 $A(a,{\log }_{2}a-2)$입니다.

점 B는 곡선 $y={\log }_{\frac{1}{2}}x$ 위의 점이므로, $x=a$를 대입하면 $y={\log }_{\frac{1}{2}}a=-{\log }_{2}a$입니다. 따라서 $B(a,-{\log }_{2}a)$입니다.

step3. 두 점 A, B는 모두 직선 $x=a$ 위에 있으므로, 선분 AB의 길이는 두 점의 y좌표의 차이의 절댓값과 같습니다.

$\overline{AB}=|({\log }_{2}a-2)-(-{\log }_{2}a)|=|2{\log }_{2}a-2|$

[키포인트] 여기서 $a>2$라는 조건이 주어졌으므로, ${\log }_{2}a>{\log }_{2}2=1$이 되어 $2{\log }_{2}a-2>0$임을 알 수 있습니다.

[함정경고] 절댓값을 풀 때 $a$의 범위를 고려하지 않고 임의로 부호를 결정하면 오답이 나올 수 있으므로, 반드시 $a>2$ 조건을 확인하여 절댓값 안의 부호를 판별해야 합니다.

따라서 $\overline{AB}=2{\log }_{2}a-2$가 됩니다.

문제에서 $\overline{AB}=4$라고 하였으므로,

$2{\log }_{2}a-2=4$

$2{\log }_{2}a=6$

${\log }_{2}a=3$

$a=2^3=8$입니다.

[정답] ③

⚡ 실전용 풀이

step1. 점근선 구하기

$y={\log }_2(x-a)$의 점근선: $x=a$

step2. 교점 A, B의 좌표

$A(a,{\log }_2\frac{a}{4})=A(a,{\log }_{2}a-2)$

$B(a,{\log }_{\frac{1}{2}}a)=B(a,-{\log }_{2}a)$

step3. 선분 AB의 길이와 a 계산

$\overline{AB}=|({\log }_{2}a-2)-(-{\log }_{2}a)|$

$=|2{\log }_{2}a-2|$

$a>2$이므로 ${\log }_{2}a>1$   --- (절댓값 부호 판별)

$\therefore 2{\log }_{2}a-2=4$

$2{\log }_{2}a=6$

${\log }_{2}a=3$

$\therefore a=8$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

1. 로그함수의 점근선을 구하는 방법을 잊어버려 $x=a$를 찾지 못할 수 있습니다. 2. 두 점 A, B의 y좌표를 구한 후, 선분 AB의 길이를 구할 때 절댓값을 씌우지 않거나 $a>2$ 조건을 활용하여 절댓값을 올바르게 풀지 못해 계산이 막힐 수 있습니다.

🔑 돌파구

1. 로그함수 $y={\log }_c(x-p)$의 점근선은 진수 부분인 $x-p=0$이 되는 $x=p$임을 기억하세요. 2. 수직선 상의 두 점 사이의 거리는 y좌표의 차이의 절댓값입니다. $a>2$ 조건을 이용해 ${\log }_{2}a>1$임을 확인하고 절댓값 기호를 벗겨내세요. (거리나 길이를 식으로 세울 때는 항상 절댓값을 씌우고, 주어진 조건으로 부호를 판별하는 습관을 들이세요.)

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