(2024학년도) 2023년 6월 모평 고3 수학 10번 풀이 해설 [이해용/실전용]

수학여정 - 문제 분석 리포트

(2024학년도) 2023년 6월 모평 고3 수학 10번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	고등학교 (정적분의 활용)
난이도	중

🔍 이해용 풀이

문제

양수 $k$에 대하여 함수 $f(x)$는 $f(x)=kx(x-2)(x-3)$이다. 곡선 $y=f(x)$와 $x$축이 원점 $O$와 두 점 $P,Q$ ($\overline{OP}<\overline{OQ}$)에서 만난다. 곡선 $y=f(x)$와 선분 $OP$로 둘러싸인 영역을 $A$, 곡선 $y=f(x)$와 선분 $PQ$로 둘러싸인 영역을 $B$라 하자. $(A의넓이)-(B의넓이)=3$일 때, $k$의 값은? [4점] ① $\frac{7}{6}$ ② $\frac{4}{3}$ ③ $\frac{3}{2}$ ④ $\frac{5}{3}$ ⑤ $\frac{11}{6}$

1. 문제의 요지

이 문제는 정적분과 넓이의 관계를 이용하여 미지수 $k$의 값을 구하는 것을 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- $k>0$
- $f(x)=kx(x-2)(x-3)$
- 곡선 $y=f(x)$와 $x$축의 교점: $O(0,0)$, $P$, $Q$ (단, $\overline{OP}<\overline{OQ}$)
- 영역 $A$: 곡선 $y=f(x)$와 선분 $OP$로 둘러싸인 부분
- 영역 $B$: 곡선 $y=f(x)$와 선분 $PQ$로 둘러싸인 부분
- $(A의넓이)-(B의넓이)=3$

3. 풀이의 순서

이 문제는 정적분과 넓이의 관계를 이용하여 하나의 정적분 식으로 나타내어 푸는 방법으로 문제를 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 함수 $f(x)$의 $x$절편을 구하여 점 $P,Q$의 좌표를 찾습니다.

step2. 영역 $A$와 $B$의 넓이를 정적분으로 표현하고, 주어진 조건을 하나의 정적분 식으로 변형합니다.

step3. 정적분을 계산하여 $k$의 값을 구합니다.

4. 풀이의 도구

- 정적분과 넓이: 함수 $f(x)$가 닫힌구간 $[a,b]$에서 연속일 때, 곡선 $y=f(x)$와 $x$축 및 두 직선 $x=a,x=b$로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$는 $S={\int }_a^b|f(x)|dx$이다.

- 정적분의 성질: ${\int }_a^{b}f(x)dx+{\int }_b^{c}f(x)dx={\int }_a^{c}f(x)dx$

5. 구체적 풀이

[키포인트] 두 영역의 넓이의 차가 주어졌을 때, 각 영역의 넓이를 따로 구하지 않고 정적분의 성질을 이용하여 하나의 정적분으로 합쳐서 계산하면 훨씬 간단하게 풀 수 있습니다.

step1. 함수 $f(x)$의 $x$절편을 구하여 점 $P,Q$의 좌표를 찾습니다.

함수 $f(x)=kx(x-2)(x-3)$이 $x$축과 만나는 점의 $x$좌표는 $f(x)=0$을 만족하는 값이므로 $x=0,2,3$입니다.

조건에서 $\overline{OP}<\overline{OQ}$이므로 점 $P$의 $x$좌표는 2, 점 $Q$의 $x$좌표는 3입니다.

따라서 $O(0,0)$, $P(2,0)$, $Q(3,0)$입니다.

step2. 영역 $A$와 $B$의 넓이를 정적분으로 표현하고, 주어진 조건을 하나의 정적분 식으로 변형합니다.

$k>0$이므로 구간 $[0,2]$에서 $f(x)\ge 0$이고, 구간 $[2,3]$에서 $f(x)\le 0$입니다.

영역 $A$의 넓이는 ${\int }_0^{2}f(x)dx$이고, 영역 $B$의 넓이는 $-{\int }_2^{3}f(x)dx$입니다.

주어진 조건에서 $(A의넓이)-(B의넓이)=3$이므로,

${\int }_0^{2}f(x)dx-(-{\int }_2^{3}f(x)dx)=3$

${\int }_0^{2}f(x)dx+{\int }_2^{3}f(x)dx=3$

정적분의 성질에 의해 위 식은 다음과 같이 간단해집니다.

${\int }_0^{3}f(x)dx=3$

[함정경고] 영역 $B$는 $x$축 아래에 있으므로 정적분 값은 음수입니다. 따라서 넓이를 구할 때는 반드시 마이너스 기호를 붙여야 합니다. 이를 놓치고 $(A의넓이)-(B의넓이)={\int }_0^{2}f(x)dx-{\int }_2^{3}f(x)dx$로 착각하기 쉽습니다.

step3. 정적분을 계산하여 $k$의 값을 구합니다.

$f(x)=kx(x-2)(x-3)=kx(x^2-5x+6)=k(x^3-5x^2+6x)$이므로,

${\int }_0^{3}k(x^3-5x^2+6x)dx=3$

$k{[\frac{1}{4}{x}^4-\frac{5}{3}{x}^3+3x^2]}_0^3=3$

$k(\frac{81}{4}-\frac{5}{3}·27+3·9)=3$

$k(\frac{81}{4}-45+27)=3$

$k(\frac{81}{4}-18)=3$

$k\left(\frac{81-72}{4}\right)=3$

$k·\frac{9}{4}=3$

$k=3·\frac{4}{9}=\frac{4}{3}$

따라서 $k$의 값은 $\frac{4}{3}$입니다.

[정답] ②

⚡ 실전용 풀이

step1. x절편 구하기

$f(x)=kx(x-2)(x-3)=0$

$x=0,2,3$

$\overline{OP}<\overline{OQ}$이므로 $P(2,0),Q(3,0)$

step2. 정적분 식으로 변형

$(A의넓이)={\int }_0^{2}f(x)dx$

$(B의넓이)=-{\int }_2^{3}f(x)dx$

$(A의넓이)-(B의넓이)={\int }_0^{2}f(x)dx-(-{\int }_2^{3}f(x)dx)=3$

${\int }_0^{3}f(x)dx=3$   --- (정적분의 성질 이용)

step3. 정적분 계산

$f(x)=k(x^3-5x^2+6x)$

${\int }_0^{3}k(x^3-5x^2+6x)dx=k{[\frac{1}{4}{x}^4-\frac{5}{3}{x}^3+3x^2]}_0^3$

$=k(\frac{81}{4}-45+27)=k(\frac{81}{4}-18)=k·\frac{9}{4}$

$\frac{9}{4}k=3$

∴ $k=\frac{4}{3}$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

학생들은 영역 $A$와 $B$의 넓이를 각각 구해서 빼려고 시도하다가 계산이 복잡해져서 막힐 수 있습니다. 특히 영역 $B$의 넓이를 구할 때 정적분 값에 마이너스를 붙여야 한다는 사실을 잊고 부호 실수를 하기 쉽습니다.

🔑 돌파구

넓이의 차가 주어졌을 때, 각 영역의 부호를 고려하여 정적분 식으로 나타내 보세요. $(A의넓이)-(B의넓이)={\int }_0^{2}f(x)dx-(-{\int }_2^{3}f(x)dx)={\int }_0^{3}f(x)dx$와 같이 하나의 정적분으로 합쳐지면 계산이 훨씬 간단해집니다. 넓이와 정적분의 관계를 묻는 문제에서는 구간을 합칠 수 있는지 항상 먼저 확인하세요.

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