(2024학년도) 2023년 6월 모평 고3 수학 12번 풀이 해설 [이해용/실전용]

고3 수학/(2024학년도) 2023년 6월 모평 고3 수학 공통과목

(2024학년도) 2023년 6월 모평 고3 수학 12번 풀이 해설 [이해용/실전용]

수학여정 mathjourney 2026. 5. 29. 09:35

수학여정 - 문제 분석 리포트

(2024학년도) 2023년 6월 모평 고3 수학 12번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	고등학교 (수학 I - 수열)
난이도	중상

🔍 이해용 풀이

문제

12.

a_{2} = - 4

이고 공차가 0이 아닌 등차수열

a_{n}

에 대하여 수열

b_{n}

을

b_{n} = a_{n} + a_{n + 1} (n \geq 1)

이라 하고, 두 집합

A, B

를

A = {a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}}, B = {b_{1}, b_{2}, b_{3}, b_{4}, b_{5}}

라 하자.

n (A \cap B) = 3

이 되도록 하는 모든 수열

a_{n}

에 대하여

a_{20}

의 값의 합은? [4점] ① 30 ② 34 ③ 38 ④ 42 ⑤ 46

1. 문제의 요지

이 문제는 등차수열의 성질과 집합의 교집합 조건을 이용하여 가능한 공차를 모두 구하고, 이를 통해 특정 항의 값을 계산할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- 등차수열

a_{n}

의 제2항

a_{2} = - 4

- 수열

a_{n}

의 공차

d \neq 0

b_{n} = a_{n} + a_{n + 1} (n \geq 1)

A = {a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}}

B = {b_{1}, b_{2}, b_{3}, b_{4}, b_{5}}

n (A \cap B) = 3

3. 풀이의 순서

이 문제는 집합 A와 B의 원소들을 공차 d로 표현하고, 교집합의 원소가 3개가 되기 위한 조건을 찾아 공차 d를 구하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 수열 $a_{n}$ 과 $b_{n}$ 의 일반항을 공차 $d$ 를 이용하여 표현합니다.

step2. 집합 $A$ 와 $B$ 의 원소들을 $d$ 에 대한 식으로 나열합니다.

step3. $A \cap B$ 의 원소가 3개가 되기 위한 조건을 분석하여 가능한 $d$ 의 값을 모두 구합니다.

step4. 구한 $d$ 의 값들에 대하여 각각 $a_{20}$ 을 계산하고 그 합을 구합니다.

4. 풀이의 도구

- 등차수열의 일반항: 첫째항이 $a$ , 공차가 $d$ 인 등차수열의 제 $n$ 항은 $a_{n} = a + (n - 1) d$ 입니다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 집합 $A$ 의 원소들은 공차가 $d$ 인 등차수열을 이루고, 집합 $B$ 의 원소들은 공차가 $2 d$ 인 등차수열을 이룬다는 점을 파악하는 것이 핵심입니다.

step1. 수열 $a_{n}$ 과 $b_{n}$ 의 일반항을 공차 $d$ 를 이용하여 표현합니다.

$a_{2} = - 4$ 이므로, 등차수열 $a_{n}$ 의 일반항은 $a_{n} = - 4 + (n - 2) d$ 입니다.

수열 $b_{n}$ 은 $b_{n} = a_{n} + a_{n + 1}$ 이므로,

$b_{n} = {- 4 + (n - 2) d} + {- 4 + (n - 1) d} = - 8 + (2 n - 3) d$ 입니다.

step2. 집합 $A$ 와 $B$ 의 원소들을 $d$ 에 대한 식으로 나열합니다.

집합 $A = {a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}}$ 의 원소들은 다음과 같습니다.

$A = {- 4 - d, - 4, - 4 + d, - 4 + 2 d, - 4 + 3 d}$

집합 $B = {b_{1}, b_{2}, b_{3}, b_{4}, b_{5}}$ 의 원소들은 다음과 같습니다.

$B = {- 8 - d, - 8 + d, - 8 + 3 d, - 8 + 5 d, - 8 + 7 d}$

step3. $A \cap B$ 의 원소가 3개가 되기 위한 조건을 분석하여 가능한 $d$ 의 값을 모두 구합니다.

집합 $A$ 의 원소들은 공차가 $d$ 인 등차수열이고, 집합 $B$ 의 원소들은 공차가 $2 d$ 인 등차수열입니다.

$n (A \cap B) = 3$ 이 되려면, 집합 $B$ 의 원소 중 3개가 집합 $A$ 에 포함되어야 합니다.

[함정경고] 집합 $B$ 에서 선택된 3개의 원소가 연속되지 않을 수도 있다고 착각하기 쉽습니다. 하지만 $B$ 의 공차가 $2 d$ 이므로 연속되지 않은 세 원소의 간격은 최소 $4 d$ 가 되며, 집합 $A$ 의 최대 간격이 $4 d$ 이므로 3개의 원소가 포함될 수 없습니다. 따라서 $B$ 에서 선택된 3개의 원소는 반드시 연속되어야 합니다.

집합 $A$ 안에서 공차가 $2 d$ 인 3개의 원소는 ${a_{1}, a_{3}, a_{5}} = {- 4 - d, - 4 + d, - 4 + 3 d}$ 뿐입니다.

따라서 집합 $B$ 의 연속된 세 원소가 이 세 원소와 같아야 합니다.

경우 1) $(b_{1}, b_{2}, b_{3}) = (a_{1}, a_{3}, a_{5})$ 일 때

$b_{1} = a_{1}$ 이므로 $- 8 - d = - 4 - d$ 가 되어 $- 8 = - 4$ 라는 모순이 발생합니다.

경우 2) $(b_{2}, b_{3}, b_{4}) = (a_{1}, a_{3}, a_{5})$ 일 때

$b_{2} = a_{1}$ 이므로 $- 8 + d = - 4 - d$ 가 되어 $2 d = 4$ , 즉 $d = 2$ 입니다.

경우 3) $(b_{3}, b_{4}, b_{5}) = (a_{1}, a_{3}, a_{5})$ 일 때

$b_{3} = a_{1}$ 이므로 $- 8 + 3 d = - 4 - d$ 가 되어 $4 d = 4$ , 즉 $d = 1$ 입니다.

step4. 구한 $d$ 의 값들에 대하여 각각 $a_{20}$ 을 계산하고 그 합을 구합니다.

$d = 2$ 일 때, $a_{20} = a_{2} + 18 d = - 4 + 18 \times 2 = 32$ 입니다.

$d = 1$ 일 때, $a_{20} = a_{2} + 18 d = - 4 + 18 \times 1 = 14$ 입니다.

따라서 모든 수열 $a_{n}$ 에 대하여 $a_{20}$ 의 값의 합은 $32 + 14 = 46$ 입니다.

[정답] ⑤

⚡ 실전용 풀이

step1. 일반항 표현

$a_{n} = - 4 + (n - 2) d$

$b_{n} = a_{n} + a_{n + 1} = - 8 + (2 n - 3) d$

step2. 집합 원소 나열

$A = {- 4 - d, - 4, - 4 + d, - 4 + 2 d, - 4 + 3 d}$ --- (공차 $d$ )

$B = {- 8 - d, - 8 + d, - 8 + 3 d, - 8 + 5 d, - 8 + 7 d}$ --- (공차 $2 d$ )

step3. 교집합 조건 분석

$n (A \cap B) = 3$ 이려면 $B$ 의 연속된 세 원소가 $A$ 의 간격 $2 d$ 인 세 원소 ${a_{1}, a_{3}, a_{5}}$ 와 같아야 함.

1) $b_{1} = a_{1} ⟹ - 8 - d = - 4 - d$ --- 모순

2) $b_{2} = a_{1} ⟹ - 8 + d = - 4 - d ⟹ 2 d = 4 ⟹ d = 2$

3) $b_{3} = a_{1} ⟹ - 8 + 3 d = - 4 - d ⟹ 4 d = 4 ⟹ d = 1$

step4. $a_{20}$ 계산

$d = 2$ 일 때, $a_{20} = - 4 + 18 (2) = 32$

$d = 1$ 일 때, $a_{20} = - 4 + 18 (1) = 14$

∴ 정답: $32 + 14 = 46$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

집합 $A$ 와 $B$ 의 원소들을 나열한 후, 교집합의 원소가 3개가 되는 조건을 어떻게 수식으로 풀어내야 할지 막막할 수 있습니다. 두 집합의 원소들이 각각 공차가 $d$ , $2 d$ 인 등차수열을 이룬다는 구조적 특징을 파악하지 못하면 경우의 수를 나누는 데 어려움을 겪습니다.

🔑 돌파구

집합 $A$ 의 원소 간격은 $d$ 이고 집합 $B$ 의 원소 간격은 $2 d$ 임을 확인하세요. $B$ 의 원소 3개가 $A$ 에 포함되려면, $A$ 안에서 간격이 $2 d$ 인 세 원소( $a_{1}, a_{3}, a_{5}$ )와 같아야 함을 이용해 방정식을 세우면 됩니다. 팁: 두 등차수열의 교집합 문제는 각 수열의 공차의 비율을 비교하여 겹치는 패턴을 찾는 것이 핵심입니다.

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