(2024학년도) 2023년 6월 모평 고3 수학 13번 풀이 해설 [이해용/실전용]

수학여정 - 문제 분석 리포트

(2024학년도) 2023년 6월 모평 고3 수학 13번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	고등학교 (사인법칙과 코사인법칙)
난이도	상

🔍 이해용 풀이

문제

그림과 같이 $\overline{BC}=3$, $\overline{CD}=2$, $\cos (\angle BCD)=-\frac{1}{3}$, $\angle DAB>\frac{\pi }{2}$ 인 사각형 ABCD에서 두 삼각형 ABC와 ACD는 모두 예각삼각형이다. 선분 AC를 1:2로 내분하는 점 E에 대하여 선분 AE를 지름으로 하는 원이 두 선분 AB, AD와 만나는 점 중 A가 아닌 점을 각각 $P_1$, $P_2$라 하고, 선분 CE를 지름으로 하는 원이 두 선분 BC, CD와 만나는 점 중 C가 아닌 점을 각각 $Q_1$, $Q_2$라 하자. $\overline{P_1{P}_2}:\overline{Q_1{Q}_2}=3:5\sqrt{2}$ 이고 삼각형 ABD의 넓이가 2일 때, $\overline{AB}+\overline{AD}$의 값은? (단, $\overline{AB}>\overline{AD}$) ① $\sqrt{21}$ ② $\sqrt{22}$ ③ $\sqrt{23}$ ④ $2\sqrt{6}$ ⑤ $5$

1. 문제의 요지

이 문제는 사인법칙과 코사인법칙을 복합적으로 활용하여 삼각형의 변의 길이와 각의 삼각비 사이의 관계를 파악하고, 곱셈공식의 변형을 통해 원하는 값을 도출할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- $\overline{BC}=3$
- $\overline{CD}=2$
- $\cos (\angle BCD)=-\frac{1}{3}$
- $\angle DAB>\frac{\pi }{2}$
- $△ABC$, $△ACD$는 예각삼각형
- 점 E는 선분 AC를 1:2로 내분 ($\overline{AE}:\overline{CE}=1:2$)
- 선분 AE를 지름으로 하는 원이 AB, AD와 만나는 점 $P_1,P_2$
- 선분 CE를 지름으로 하는 원이 BC, CD와 만나는 점 $Q_1,Q_2$
- $\overline{P_1{P}_2}:\overline{Q_1{Q}_2}=3:5\sqrt{2}$
- $△ABD$의 넓이는 2
- $\overline{AB}>\overline{AD}$

3. 풀이의 순서

이 문제는 사인법칙을 통해 현의 길이를 표현하고, 코사인법칙과 넓이 공식을 연계하여 변의 길이를 구하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. $△BCD$에서 코사인법칙을 이용하여 $\overline{BD}$의 길이를 구합니다.

step2. 사인법칙을 이용하여 $\overline{P_1{P}_2}$와 $\overline{Q_1{Q}_2}$를 각각 지름과 원주각의 사인 값으로 표현합니다.

step3. 주어진 비율 $\overline{P_1{P}_2}:\overline{Q_1{Q}_2}$를 이용하여 $\sin (\angle DAB)$의 값을 구합니다.

step4. $△ABD$의 넓이 공식을 이용하여 $\overline{AB}·\overline{AD}$의 값을 구합니다.

step5. $△ABD$에서 코사인법칙을 이용하여 ${\overline{AB}}^2+{\overline{AD}}^2$의 값을 구하고, 곱셈공식의 변형을 통해 최종적으로 $\overline{AB}+\overline{AD}$를 도출합니다.

4. 풀이의 도구

- 코사인법칙: 삼각형의 두 변의 길이와 그 끼인각의 코사인 값을 알 때, 나머지 한 변의 길이를 구하는 공식입니다. (${\overline{BD}}^2={\overline{BC}}^2+{\overline{CD}}^2-2·\overline{BC}·\overline{CD}·\cos (\angle BCD)$)

- 사인법칙: 원에 내접하는 삼각형에서 한 변의 길이는 외접원의 지름과 그 대각의 사인 값의 곱과 같다는 성질입니다. ($\frac{a}{\sin A}=2R$)

- 삼각형의 넓이 공식: 두 변의 길이와 그 끼인각의 사인 값을 알 때 삼각형의 넓이를 구하는 공식입니다. ($S=\frac{1}{2}ab\sin \theta$)

5. 구체적 풀이

[키포인트] 원에 내접하는 삼각형에서 현의 길이를 지름과 원주각의 사인 값으로 표현하는 사인법칙의 활용이 이 문제의 핵심 해결책입니다.

step1. $△BCD$에서 코사인법칙을 이용하여 $\overline{BD}$의 길이를 구합니다.

주어진 조건 $\overline{BC}=3$, $\overline{CD}=2$, $\cos (\angle BCD)=-\frac{1}{3}$을 코사인법칙에 대입합니다.

${\overline{BD}}^2={\overline{BC}}^2+{\overline{CD}}^2-2·\overline{BC}·\overline{CD}·\cos (\angle BCD)$

${\overline{BD}}^2=3^2+2^2-2·3·2·(-\frac{1}{3})=9+4+4=17$

따라서 $\overline{BD}=\sqrt{17}$ 입니다.

step2. 사인법칙을 이용하여 $\overline{P_1{P}_2}$와 $\overline{Q_1{Q}_2}$를 표현합니다.

선분 AE를 지름으로 하는 원에 $△A{P}_1{P}_2$가 내접하므로, 사인법칙에 의해 $\frac{\overline{P_1{P}_2}}{\sin (\angle P_{1}A{P}_2)}=\overline{AE}$ 가 성립합니다.

여기서 $\angle P_{1}A{P}_2=\angle DAB$ 이므로, $\overline{P_1{P}_2}=\overline{AE}\sin (\angle DAB)$ 입니다.

마찬가지로 선분 CE를 지름으로 하는 원에 $△C{Q}_1{Q}_2$가 내접하므로, 사인법칙에 의해 $\frac{\overline{Q_1{Q}_2}}{\sin (\angle Q_{1}C{Q}_2)}=\overline{CE}$ 가 성립합니다.

여기서 $\angle Q_{1}C{Q}_2=\angle BCD$ 이므로, $\overline{Q_1{Q}_2}=\overline{CE}\sin (\angle BCD)$ 입니다.

step3. 주어진 비율을 이용하여 $\sin (\angle DAB)$를 구합니다.

$\sin (\angle BCD)=\sqrt{1-{\cos }^2(\angle BCD)}=\sqrt{1-(-\frac{1}{3}{)}^2}=\sqrt{\frac{8}{9}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$ 입니다.

주어진 조건 $\overline{P_1{P}_2}:\overline{Q_1{Q}_2}=3:5\sqrt{2}$ 를 분수 형태로 쓰면 $\frac{\overline{P_1{P}_2}}{\overline{Q_1{Q}_2}}=\frac{3}{5\sqrt{2}}$ 입니다.

앞서 구한 식을 대입하면 $\frac{\overline{AE}\sin (\angle DAB)}{\overline{CE}\sin (\angle BCD)}=\frac{3}{5\sqrt{2}}$ 가 됩니다.

점 E가 선분 AC를 1:2로 내분하므로 $\frac{\overline{AE}}{\overline{CE}}=\frac{1}{2}$ 입니다.

따라서 $\frac{1}{2}·\frac{\sin (\angle DAB)}{\frac{2\sqrt{2}}{3}}=\frac{3}{5\sqrt{2}}$ 가 성립합니다.

이를 정리하면 $\sin (\angle DAB)=\frac{6}{5\sqrt{2}}·\frac{2\sqrt{2}}{3}=\frac{4}{5}$ 입니다.

step4. $△ABD$의 넓이 공식을 이용하여 $\overline{AB}·\overline{AD}$를 구합니다.

$△ABD$의 넓이는 $\frac{1}{2}·\overline{AB}·\overline{AD}·\sin (\angle DAB)$ 입니다.

넓이가 2라고 주어졌으므로, $\frac{1}{2}·\overline{AB}·\overline{AD}·\frac{4}{5}=2$ 입니다.

따라서 $\overline{AB}·\overline{AD}=5$ 입니다.

step5. $△ABD$에서 코사인법칙을 이용하여 $\overline{AB}+\overline{AD}$를 구합니다.

[함정경고] 조건에서 $\angle DAB>\frac{\pi }{2}$ 라고 주어졌으므로 $\cos (\angle DAB)$의 값은 음수입니다. 여기서 부호를 양수로 착각하여 계산하면 오답이 나오기 쉬우니 주의해야 합니다.

$\cos (\angle DAB)=-\sqrt{1-{\sin }^2(\angle DAB)}=-\sqrt{1-(\frac{4}{5}{)}^2}=-\frac{3}{5}$ 입니다.

$△ABD$에서 코사인법칙을 적용하면,

${\overline{BD}}^2={\overline{AB}}^2+{\overline{AD}}^2-2·\overline{AB}·\overline{AD}·\cos (\angle DAB)$

$17={\overline{AB}}^2+{\overline{AD}}^2-2·5·(-\frac{3}{5})$

$17={\overline{AB}}^2+{\overline{AD}}^2+6$

${\overline{AB}}^2+{\overline{AD}}^2=11$ 입니다.

곱셈공식의 변형을 이용하면,

$(\overline{AB}+\overline{AD}{)}^2={\overline{AB}}^2+{\overline{AD}}^2+2\overline{AB}·\overline{AD}=11+2·5=21$ 입니다.

길이는 양수이므로 $\overline{AB}+\overline{AD}=\sqrt{21}$ 입니다.

[정답] ①

⚡ 실전용 풀이

step1. $\overline{BD}$ 길이 계산

${\overline{BD}}^2=3^2+2^2-2·3·2·(-\frac{1}{3})=17$   --- (코사인법칙 이용)

step2. $\overline{P_1{P}_2}$, $\overline{Q_1{Q}_2}$ 표현

$\overline{P_1{P}_2}=\overline{AE}\sin (\angle DAB)$   --- (사인법칙 이용)

$\overline{Q_1{Q}_2}=\overline{CE}\sin (\angle BCD)$

step3. $\sin (\angle DAB)$ 계산

$\frac{\overline{P_1{P}_2}}{\overline{Q_1{Q}_2}}=\frac{\overline{AE}\sin (\angle DAB)}{\overline{CE}\sin (\angle BCD)}=\frac{3}{5\sqrt{2}}$

$\frac{1}{2}·\frac{\sin (\angle DAB)}{\frac{2\sqrt{2}}{3}}=\frac{3}{5\sqrt{2}}$   --- ($\sin (\angle BCD)=\sqrt{1-(-\frac{1}{3}{)}^2}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$ 대입)

$\sin (\angle DAB)=\frac{4}{5}$

step4. $\overline{AB}·\overline{AD}$ 계산

$\frac{1}{2}·\overline{AB}·\overline{AD}·\frac{4}{5}=2$   --- (삼각형 넓이 공식 이용)

$\overline{AB}·\overline{AD}=5$

step5. $\overline{AB}+\overline{AD}$ 계산

$17={\overline{AB}}^2+{\overline{AD}}^2-2·5·(-\frac{3}{5})$   --- ($\cos (\angle DAB)=-\frac{3}{5}$ 대입하여 코사인법칙 적용)

${\overline{AB}}^2+{\overline{AD}}^2=11$

$(\overline{AB}+\overline{AD}{)}^2=11+2·5=21$

∴ $\sqrt{21}$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

원에 내접하는 삼각형에서 사인법칙을 떠올리지 못해 $\overline{P_1{P}_2}$와 $\overline{Q_1{Q}_2}$의 길이를 각과 지름으로 표현하지 못할 수 있습니다. 또한, $\angle DAB$가 둔각이라는 조건을 놓쳐 $\cos (\angle DAB)$의 부호를 양수로 잘못 계산하는 실수가 빈번하게 발생합니다.

🔑 돌파구

원과 그 원에 내접하는 삼각형(또는 현)이 주어지면 가장 먼저 사인법칙($\frac{a}{\sin A}=2R$)을 떠올려 현의 길이를 지름과 원주각으로 표현해 보세요. 삼각비의 값을 구할 때는 주어진 각의 범위(예: $\angle DAB>\frac{\pi }{2}$)를 반드시 확인하여 코사인 값의 부호를 정확히 결정하는 습관을 들여야 합니다.

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