(2024학년도) 2023년 6월 모평 고3 수학 14번 풀이 해설 [이해용/실전용]

수학여정 - 문제 분석 리포트

(2024학년도) 2023년 6월 모평 고3 수학 14번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	고등학교 (수학2 - 속도와 거리)
난이도	중상

🔍 이해용 풀이

문제

실수 $a(a\ge 0)$에 대하여 수직선 위를 움직이는 점 P의 시각 $t(t\ge 0)$에서의 속도 $v(t)$를 $v(t)=-t(t-1)(t-a)(t-2a)$라 하자. 점 P가 시각 $t=0$일 때 출발한 후 운동 방향을 한 번만 바꾸도록 하는 $a$에 대하여, 시각 $t=0$에서 $t=2$까지 점 P의 위치의 변화량의 최댓값은?

1. 문제의 요지

이 문제는 속도 함수의 부호 변화를 통해 운동 방향이 바뀌는 조건을 찾고, 정적분을 이용하여 위치의 변화량을 계산할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- $a\ge 0$
- $v(t)=-t(t-1)(t-a)(t-2a)$
- $t\ge 0$에서 운동 방향을 한 번만 바꿈
- 구하는 값: $t=0$에서 $t=2$까지 위치의 변화량의 최댓값

3. 풀이의 순서

이 문제는 속도 함수의 부호 변화 조건을 분석하여 미지수를 구하고 정적분을 계산하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 점 P가 운동 방향을 한 번만 바꾸기 위한 속도 함수 $v(t)$의 조건을 분석합니다.

step2. $v(t)=0$이 되는 $t$의 값을 찾고, 중근 조건을 이용하여 가능한 $a$의 값을 모두 구합니다.

step3. 구한 각 $a$의 값에 대하여 $t=0$에서 $t=2$까지의 위치의 변화량을 정적분으로 계산합니다.

step4. 계산된 위치의 변화량 중 최댓값을 찾아 정답을 도출합니다.

4. 풀이의 도구

- 운동 방향의 변화: 속도 $v(t)$의 부호가 바뀌는 시각에서 점의 운동 방향이 바뀝니다. 다항함수에서 부호가 바뀌려면 해당 근이 홀수 중복도(단일근 등)를 가져야 합니다.

- 위치의 변화량: 시각 $t=t_1$에서 $t=t_2$까지 점의 위치의 변화량은 ${\int }_{t_1}^{t_2}v(t)dt$로 계산합니다.

5. 구체적 풀이

[키포인트] 점 P가 운동 방향을 한 번만 바꾸려면 $t>0$에서 속도 $v(t)$의 부호가 딱 한 번만 바뀌어야 합니다. 즉, $v(t)=0$의 양의 실근 중 홀수 중복도를 가지는 근이 1개뿐이어야 합니다.

step1. 속도 함수 $v(t)=-t(t-1)(t-a)(t-2a)$가 $t>0$에서 부호가 한 번만 바뀌는 조건을 찾습니다.

$v(t)=0$이 되는 $t$의 값은 $t=0,1,a,2a$입니다.

$t>0$에서의 근은 $1,a,2a$입니다. (단, $a=0$인 경우 $t>0$에서 근은 $1$뿐입니다.)

부호가 한 번만 바뀌려면 이 세 근 중 두 개가 같아서 중근(짝수 중복도)을 형성하고, 나머지 하나만 단일근이 되어야 합니다.

step2. 가능한 $a$의 값을 구합니다.

- 경우 1: $a=0$일 때

$v(t)=-t^3(t-1)$이 되어 $t>0$에서 근은 $t=1$ 하나뿐입니다. $t=1$에서 부호가 바뀌므로 조건을 만족합니다.

- 경우 2: $a>0$일 때

근 $1,a,2a$ 중 두 개가 같아야 합니다.

$a=2a$는 $a=0$이므로 모순입니다.

따라서 $a=1$ 이거나 $2a=1$ 이어야 합니다.

만약 $a=1$이면, 근은 $1,1,2$가 되어 $t=1$은 중근, $t=2$는 단일근입니다. $t=2$에서만 부호가 바뀌므로 조건을 만족합니다.

만약 $2a=1$, 즉 $a=\frac{1}{2}$이면, 근은 $1,\frac{1}{2},1$이 되어 $t=1$은 중근, $t=\frac{1}{2}$은 단일근입니다. $t=\frac{1}{2}$에서만 부호가 바뀌므로 조건을 만족합니다.

따라서 가능한 $a$의 값은 $0,\frac{1}{2},1$입니다.

[함정경고] $a=0$인 경우를 놓치기 쉽습니다. $a\ge 0$이라는 조건이 있으므로 $a=0$일 때도 반드시 확인해야 합니다.

step3. 각 $a$의 값에 대하여 $t=0$에서 $t=2$까지 위치의 변화량 ${\int }_0^{2}v(t)dt$를 계산합니다.

- $a=0$일 때:

$v(t)=-t^3(t-1)=-t^4+t^3$

${\int }_0^2(-t^4+t^3)dt={[-\frac{1}{5}{t}^5+\frac{1}{4}{t}^4]}_0^2=-\frac{32}{5}+4=-\frac{12}{5}$

- $a=\frac{1}{2}$일 때:

$v(t)=-t(t-1{)}^2(t-\frac{1}{2})=-t^4+\frac{5}{2}{t}^3-2t^2+\frac{1}{2}t$

${\int }_0^2(-t^4+\frac{5}{2}{t}^3-2t^2+\frac{1}{2}t)dt={[-\frac{1}{5}{t}^5+\frac{5}{8}{t}^4-\frac{2}{3}{t}^3+\frac{1}{4}{t}^2]}_0^2$

$=-\frac{32}{5}+10-\frac{16}{3}+1=11-\frac{176}{15}=-\frac{11}{15}$

- $a=1$일 때:

$v(t)=-t(t-1{)}^2(t-2)=-t^4+4t^3-5t^2+2t$

${\int }_0^2(-t^4+4t^3-5t^2+2t)dt={[-\frac{1}{5}{t}^5+t^4-\frac{5}{3}{t}^3+t^2]}_0^2$

$=-\frac{32}{5}+16-\frac{40}{3}+4=20-\frac{296}{15}=\frac{4}{15}$

step4. 최댓값을 도출합니다.

계산된 위치의 변화량은 각각 $-\frac{12}{5},-\frac{11}{15},\frac{4}{15}$입니다.

이 중 최댓값은 $\frac{4}{15}$입니다.

[정답] ③

⚡ 실전용 풀이

step1. , 2. a의 값 찾기

$v(t)=-t(t-1)(t-a)(t-2a)$

$t>0$에서 부호 변화가 1번만 일어나야 함.

---(근 $1,a,2a$ 중 중근이 존재해야 함)

$a=0\Rightarrow$ 근: $1$ (단일근) $\Rightarrow$ 성립

$a=1\Rightarrow$ 근: $1,1,2\Rightarrow t=1$ 중근, $t=2$ 단일근 $\Rightarrow$ 성립

$2a=1\Rightarrow a=1/2\Rightarrow$ 근: $1,1/2,1\Rightarrow t=1$ 중근, $t=1/2$ 단일근 $\Rightarrow$ 성립

step3. 위치의 변화량 계산

위치의 변화량 = ${\int }_0^{2}v(t)dt$

i) $a=0$: $v(t)=-t^4+t^3$

${\int }_0^2(-t^4+t^3)dt={[-\frac{1}{5}{t}^5+\frac{1}{4}{t}^4]}_0^2=-\frac{32}{5}+4=-\frac{12}{5}$

ii) $a=1/2$: $v(t)=-t(t-1{)}^2(t-1/2)=-t^4+\frac{5}{2}{t}^3-2t^2+\frac{1}{2}t$

${\int }_0^{2}v(t)dt={[-\frac{1}{5}{t}^5+\frac{5}{8}{t}^4-\frac{2}{3}{t}^3+\frac{1}{4}{t}^2]}_0^2=-\frac{32}{5}+10-\frac{16}{3}+1=-\frac{11}{15}$

iii) $a=1$: $v(t)=-t(t-1{)}^2(t-2)=-t^4+4t^3-5t^2+2t$

${\int }_0^{2}v(t)dt={[-\frac{1}{5}{t}^5+t^4-\frac{5}{3}{t}^3+t^2]}_0^2=-\frac{32}{5}+16-\frac{40}{3}+4=\frac{4}{15}$

step4. 최댓값 도출

최댓값은 $\frac{4}{15}$

$\therefore 정답:③$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

운동 방향을 한 번만 바꾼다는 조건이 $v(t)$의 부호 변화가 한 번만 일어난다는 것임을 파악하지 못할 수 있습니다. 또한, $v(t)=0$의 근 중 중근을 가져야 한다는 사실을 떠올리지 못하거나, $a=0$인 경우를 누락하여 모든 가능한 $a$를 찾지 못할 수 있습니다.

🔑 돌파구

다항함수에서 부호가 바뀌려면 해당 근이 홀수 중복도(단일근 등)를 가져야 하고, 부호가 바뀌지 않으려면 짝수 중복도(중근 등)를 가져야 함을 기억하세요. $t>0$에서 근이 $1,a,2a$이므로, 이 중 두 개가 같아지는 모든 경우($a=0,a=1,2a=1$)를 꼼꼼히 나누어 확인하는 것이 핵심입니다. '운동 방향 변화 = 속도의 부호 변화 = 단일근 통과'로 연결하여 생각하세요.

MATHJOURNEY · AI 수학 분석

해설을 봐도

강의를 들어도

모를 때

그냥 넘어가지 말고, 포기하지 말고.

아직 수학여정을 만나지 않았다면

포기하기 이를 때

수학 문제 사진 한 장으로 막힌 문제를 해결하세요

그림해설 AI 분석 리포트

🗺️

수학여정

📷 수학여정 바로 시작하기