(2024학년도) 2023년 6월 모평 고3 수학 17번 풀이 해설 [이해용/실전용]

수학여정 - 문제 분석 리포트

(2024학년도) 2023년 6월 모평 고3 수학 17번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	고등학교 (부정적분)
난이도	하

🔍 이해용 풀이

문제

17. 함수 $f(x)$에 대하여 $f^{\prime }(x)=8x^3-1$이고 $f(0)=3$일 때, $f(2)$의 값을 구하시오. [3점]

1. 문제의 요지

이 문제는 도함수를 부정적분하여 원함수를 구하고, 적분상수를 초기 조건을 통해 결정한 뒤 특정 함숫값을 계산할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- f'(x) = 8x³ - 1
- f(0) = 3

3. 풀이의 순서

이 문제는 도함수의 부정적분을 이용하여 원함수를 구하는 방법으로 문제를 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같습니다.

step1. 도함수 f'(x)를 부정적분하여 f(x)의 식을 세웁니다. (적분상수 C 포함)

step2. 주어진 함숫값 f(0)=3을 이용하여 적분상수 C를 구합니다.

step3. 완성된 f(x) 식에 x=2를 대입하여 f(2)의 값을 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- $*부정적분**:함수f(x)의도함수가f^{\prime }(x)일때,f(x)=\int f^{\prime }(x)dx이다.다항함수의적분법에의해\int x^{n}dx=\frac{1}{n+1}{x}^{n+1}+C(단,n\ne -1)이다.$

5. 구체적 풀이

[키포인트] 도함수 $f^{\prime }(x)$가 주어졌을 때 원함수 $f(x)$를 구하려면 부정적분을 해야 하며, 이때 반드시 적분상수 $C$를 붙여주어야 합니다.

step1. 도함수 $f^{\prime }(x)=8x^3-1$을 부정적분하여 원함수 $f(x)$를 구합니다.

$f(x)=\int (8x^3-1)dx=2x^4-x+C$ (단, $C$는 적분상수)

step2. 문제에서 주어진 조건 $f(0)=3$을 이용하여 적분상수 $C$를 구합니다.

$f(0)=2(0{)}^4-0+C=C$

따라서 $C=3$ 입니다.

그러므로 $f(x)=2x^4-x+3$ 이 됩니다.

[함정경고] 부정적분을 할 때 적분상수 $C$를 빼먹고 $f(x)=2x^4-x$로만 생각하여 오답을 내기 쉬우니 주의하세요.

step3. 구하고자 하는 $f(2)$의 값을 계산합니다.

$f(2)=2(2{)}^4-2+3=2\times 16-2+3=32-2+3=33$

[정답] 33

⚡ 실전용 풀이

step1. 부정적분

$f(x)=\int (8x^3-1)dx$

$f(x)=2x^4-x+C$   --- (적분상수 $C$ 포함)

step2. 적분상수 결정

$f(0)=C=3$   --- ($f(0)=3$을 대입)

$\therefore f(x)=2x^4-x+3$

step3. 함숫값 계산

$f(2)=2(2{)}^4-2+3$

$=32-2+3=33$

$\therefore 33$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

도함수 $f^{\prime }(x)$에서 원함수 $f(x)$를 구하는 과정인 부정적분을 떠올리지 못하거나, 다항함수의 적분 공식을 헷갈려 할 수 있습니다. 부정적분을 수행한 후 적분상수 $C$를 누락하여 $f(0)=3$ 조건을 활용하지 못하고 막힐 수 있습니다.

🔑 돌파구

$f^{\prime }(x)$가 주어지면 양변을 $x$에 대해 적분하여 $f(x)=\int f^{\prime }(x)dx$ 식을 세우는 것이 첫걸음입니다. 적분 후에는 반드시 꼬리표처럼 적분상수 $+C$를 붙이고, 주어진 함숫값(여기서는 $f(0)=3$)을 대입해 $C$를 찾아내세요. (팁: $f(0)$의 값은 다항함수에서 상수항을 의미합니다.)

© 수학여정 - 문제 분석 리포트

MATHJOURNEY · AI 수학 분석

해설을 봐도

강의를 들어도

모를 때

그냥 넘어가지 말고, 포기하지 말고.

아직 수학여정을 만나지 않았다면

포기하기 이를 때

수학 문제 사진 한 장으로 막힌 문제를 해결하세요

그림해설 AI 분석 리포트

🗺️

수학여정

📷 수학여정 바로 시작하기